Απόδειξη ισοδυναμίας

nikolasuoi
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2016 11:13 am

Απόδειξη ισοδυναμίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikolasuoi » Τετ Αύγ 08, 2018 12:59 pm

A\subseteq B\Leftrightarrow A\setminus B\subseteq B\setminus A, όπου A, B σύνολα.
Απόδειξη:
\left ( \Rightarrow \right ) Έστω A\subseteq B
Τότε για τυχόν x, x\in A\Rightarrow x\in B, δηλαδή x\notin B\Rightarrow x\notin A
Είναι x\in A\setminus B\Leftrightarrow x\in A\wedge x\notin B\Rightarrow x\in B\wedge x\notin A\Rightarrow x\in B\setminus A
Άρα A\setminus B\subseteq B\setminus A.
\left ( \Leftarrow \right ) Έστω x\in A\setminus B\subseteq B\setminus A.
Τότε x\in A\setminus B\Rightarrow x\in B\setminus A, δηλαδή x\in A\wedge x\notin B\Rightarrow x\in B\wedge x\notin A, άρα A\subseteq B.
Σωστή και επαρκής απόδειξη;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7862
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Απόδειξη ισοδυναμίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Αύγ 08, 2018 1:43 pm

Το πρώτο μισό είναι εντάξει. Στο δεύτερο μισό δεν πρέπει να ξεκινήσεις από
nikolasuoi έγραψε:
Τετ Αύγ 08, 2018 12:59 pm
Έστω x\in A\setminus B\subseteq B\setminus A.

αλλά από

Έστω A\setminus B\subseteq B\setminus A.

Επίσης το

nikolasuoi έγραψε:
Τετ Αύγ 08, 2018 12:59 pm
x\in A\wedge x\notin B\Rightarrow x\in B\wedge x\notin A, άρα A\subseteq B.

χρειάζεται περαιτέρω δικαιολόγηση.


nikolasuoi
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2016 11:13 am

Re: Απόδειξη ισοδυναμίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikolasuoi » Πέμ Αύγ 09, 2018 10:57 am

Ευχαριστώ για την άμεση απάντηση. Δυσκολεύομαι να συμπληρώσω την απόδειξη. Μπορείτε να μου δώσετε περισσότερες πληροφορίες;


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7862
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Απόδειξη ισοδυναμίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Αύγ 09, 2018 3:48 pm

Προσπάθησε από το

x\in A\wedge x\notin B\Rightarrow x\in B\wedge x\notin A

να καταλήξεις σε άτοπο. Αυτό θα σου δώσει ότι το A \setminus B είναι το κενό σύνολο.


nikolasuoi
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2016 11:13 am

Re: Απόδειξη ισοδυναμίας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikolasuoi » Πέμ Αύγ 09, 2018 8:51 pm

Δηλαδή έστω A\setminus B\subseteq B\setminus A. Τότε, επειδή B\setminus A\subseteq B\Rightarrow A\setminus B\subseteq B, το οποίο ισχύει μόνο όταν A\setminus B=\varnothing . Επομένως A\subseteq B, διότι, έστω A\nsubseteq B και A\setminus B=\varnothing. Αλλά τότε A\nsubseteq B\Rightarrow \left ( \exists x \right )x\in A\wedge x\notin B\Rightarrow A\setminus B\neq \varnothing, που είναι άτοπο. Είναι πλήρης;


Απάντηση

Επιστροφή σε “Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης