Απόδειξη ισοδυναμίας

nikolasuoi · #1

$A\subseteq B\Leftrightarrow A\setminus B\subseteq B\setminus A$ , όπου

,

σύνολα.
Απόδειξη:
$\left ( \Rightarrow \right )$ Έστω $A\subseteq B$
Τότε για τυχόν

, $x\in A\Rightarrow x\in B$ , δηλαδή $x\notin B\Rightarrow x\notin A$
Είναι $x\in A\setminus B\Leftrightarrow x\in A\wedge x\notin B\Rightarrow x\in B\wedge x\notin A\Rightarrow x\in B\setminus A$
Άρα $A\setminus B\subseteq B\setminus A$ .
$\left ( \Leftarrow \right )$ Έστω $x\in A\setminus B\subseteq B\setminus A.$
Τότε $x\in A\setminus B\Rightarrow x\in B\setminus A,$ δηλαδή $x\in A\wedge x\notin B\Rightarrow x\in B\wedge x\notin A$ , άρα $A\subseteq B$ .
Σωστή και επαρκής απόδειξη;

#2

Το πρώτο μισό είναι εντάξει. Στο δεύτερο μισό δεν πρέπει να ξεκινήσεις από

nikolasuoi έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 08, 2018 12:59 pm
Έστω $x\in A\setminus B\subseteq B\setminus A.$

αλλά από

Έστω $A\setminus B\subseteq B\setminus A.$

Επίσης το

nikolasuoi έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 08, 2018 12:59 pm
$x\in A\wedge x\notin B\Rightarrow x\in B\wedge x\notin A$ , άρα $A\subseteq B$ .

χρειάζεται περαιτέρω δικαιολόγηση.

nikolasuoi · #3

Ευχαριστώ για την άμεση απάντηση. Δυσκολεύομαι να συμπληρώσω την απόδειξη. Μπορείτε να μου δώσετε περισσότερες πληροφορίες;

#4

Προσπάθησε από το

$x\in A\wedge x\notin B\Rightarrow x\in B\wedge x\notin A$

να καταλήξεις σε άτοπο. Αυτό θα σου δώσει ότι το $A \setminus B$ είναι το κενό σύνολο.

nikolasuoi · #5

Δηλαδή έστω $A\setminus B\subseteq B\setminus A$ . Τότε, επειδή $B\setminus A\subseteq B\Rightarrow A\setminus B\subseteq B$ , το οποίο ισχύει μόνο όταν $A\setminus B=\varnothing$ . Επομένως $A\subseteq B$ , διότι, έστω $A\nsubseteq B$ και $A\setminus B=\varnothing$ . Αλλά τότε $A\nsubseteq B\Rightarrow \left ( \exists x \right )x\in A\wedge x\notin B\Rightarrow A\setminus B\neq \varnothing$ , που είναι άτοπο. Είναι πλήρης;

Απόδειξη ισοδυναμίας

Απόδειξη ισοδυναμίας

Re: Απόδειξη ισοδυναμίας

Re: Απόδειξη ισοδυναμίας

Re: Απόδειξη ισοδυναμίας

Re: Απόδειξη ισοδυναμίας

Μέλη σε σύνδεση