Συνεπαγωγή από 0->1

jeterion85 · #1

Καλησπέρα ξεκινήσαμε σήμερα μαθηματική λογική στο πανεπιστήμειο μου και μας έκανε τον πίνακα αληθείας της επαγωγής και δεν μπορώ να καταλάβω πως από μια ψευδής πρόταση τότε αληθής και να είναι όλη η πρόταση αληθής έχει κάποιος ένα παράδειγμα που να το δείχνει (αν γίνετε με τρόπο της καθημερινότητας)
Ευχαριστώ

#2

Είναι θέμα συμφωνίας (ορισμού):
Η πρόταση $P\;\Rightarrow \; Q$ είναι αληθής πρόταση, αν και μόνο αν, η πρόταση

είναι ψευδής ή πρόταση

είναι αληθής.

Σημείωση: Το διαζευκτικό "ή" δεν είναι αποκλειστικό, δηλαδή είτε-είτε. Επομένως αληθής είναι η πρόταση στην περίπτωση $P,\,Q$ αληθείς, στην περίπτωση

είναι ψευδής και

αληθής και στην περίπτωση $P,\,Q$ ψευδείς.

Υπάρχει και μια λογική για αυτήν την συμφωνία. π.χ. από την πρόταση $P\equiv$ η Γη είναι στρογγυλή το να συμπεράνει κάποιος την πρόταση $Q\equiv2>1$ δεν έχει κάποιο λογικό σφάλμα κι έτσι η συνεπαγωγή θεωρείται αληθής. Το ίδιο αν από την πρόταση $P\equiv$ η Γη είναι επίπεδη συμπεράνει κάποιος την πρόταση $Q\equiv2<1$ .

Ουσιαστικά η συνεπαγωγή $P\;\Rightarrow \; Q$ είναι ψευδής ΜΟΝΟ αν από μια αληθή πρόταση

συμπεράνουμε μια ψευδή

.

Ελπίζω να βοήθησα.

S.E.Louridas · #3

Πιθανόν να διευκολύνω τον φίλο με τις προτάσεις που ακολουθούν:

$\underbrace { - 1 = 1 \Rightarrow {{\left( { - 1} \right)}^2} = {1^2} \Rightarrow 1 = 1}_{{\rm A}\lambda \eta \vartheta \dot \eta \varsigma },\,\;\,\underbrace { - 1 = 1 \Rightarrow {{\left( { - 1} \right)}^3} = {1^3} \Rightarrow - 1 = 1}_{{\rm A}\lambda \eta \vartheta \dot \eta \varsigma }$

#4

jeterion85 έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 10, 2017 7:14 pm
... πίνακα αληθείας της επαγωγής και δεν μπορώ να καταλάβω πως από μια ψευδής πρόταση τότε αληθής και να είναι όλη η πρόταση αληθής έχει κάποιος ένα παράδειγμα που να το δείχνει (αν γίνετε με τρόπο της καθημερινότητας)

Προφανώς αντί "επαγωγής" εννοείς "συνεπαγωγής".

Αν είναι λάθος εκ παραδρομής, έχει καλώς. Αλλιώς πρέπει να ξανακοιτάξεις το θέμα γιατί τα δύο είναι "έτερον εκάτερον". Καλό είναι να ξεκαθαρίσεις τις έννοιες!

Θα υιοθετήσω το σωστό για την απάντησή μου (την οποία σχεδόν αντιγράφω από παλαιότερο ποστ μου στο φόρουμ).

Ο ουσιαστικότερος λόγος που μας βολεύει να ορίσουμε την συνεπαγωγή ως αληθή όταν η υπόθεση είναι ψευδής (ό,τι και αν είναι το συμπέρασμα) είναι για να έχουμε ως θεώρημα το παρακάτω (με μπλε χρώμα). Σημειώνω ότι όλα τα σχετικά περαδείγματα, σαν και αυτά που ζητάς, είναι ουσιαστικά ειδικές περιπτώσεις του ακόλουθου.

Θεώρημα. Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.

Για την απόδειξη θέλουμε να δείξουμε κάτι της μορφής $x\in A \Rightarrow x\in B$ . Εδώ το

είναι το κενό σύνολο οπότε η υπόθεση $x\in A$ είναι ψευδής, ό,τι και να κάνουμε. Πλην όμως, η απόδειξη είναι σωστή.

Τέτοιοι συλλογισμοί είναι συχνοί στα Μαθηματικά. Η αλήθεια είναι ότι τους αποφεύγουμε στα σχολικά Μαθηματικά γιατί μπερδεύονται τα παιδιά και όσοι εργάζονται εμπειρικά.

Η αποδοχή αυτών των συλλογισμών έχει τις ρίζες της στην αρχαιότητα, και αποδίδεται στον Φίλωνα τον Μεγαρέα. Είναι, θα έλεγα, ένα από τα υπέροχα εργαλεία του μαθηματικού που τακτοποιεί τις μορφές συλλογισμού που αποδεχόμαστε στην Λογική. Σε τυπική γλώσσα λέει, επαναλαμβάνω, ότι στον πίνακα αληθείας της συνεπαγωγής, "η ψευδής υπόθεση κάνει την συνεπαγωγή αληθή, ό,τι και αν είναι το συμπέρασμα".

jeterion85 · #5

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 10, 2017 8:47 pm
Πιθανόν να διευκολύνω τον φίλο με τις προτάσεις που ακολουθούν:

$\underbrace { - 1 = 1 \Rightarrow {{\left( { - 1} \right)}^2} = {1^2} \Rightarrow 1 = 1}_{{\rm A}\lambda \eta \vartheta \dot \eta \varsigma },\,\;\,\underbrace { - 1 = 1 \Rightarrow {{\left( { - 1} \right)}^3} = {1^3} \Rightarrow - 1 = 1}_{{\rm A}\lambda \eta \vartheta \dot \eta \varsigma }$

Κάπως αλλά αύτο που δεν μπορώ να καταλάβω είναι ότι αφού είναι ψευδής δεν θα έπρεπε να σταματήσει και να μην το προσχωρήσει δεν ξέρω αν γίνομαι κατανωητός

jeterion85 · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 11, 2017 3:38 pm

jeterion85 έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 10, 2017 7:14 pm
... πίνακα αληθείας της επαγωγής και δεν μπορώ να καταλάβω πως από μια ψευδής πρόταση τότε αληθής και να είναι όλη η πρόταση αληθής έχει κάποιος ένα παράδειγμα που να το δείχνει (αν γίνετε με τρόπο της καθημερινότητας)
Προφανώς αντί "επαγωγής" εννοείς "συνεπαγωγής".

Αν είναι λάθος εκ παραδρομής, έχει καλώς. Αλλιώς πρέπει να ξανακοιτάξεις το θέμα γιατί τα δύο είναι "έτερον εκάτερον". Καλό είναι να ξεκαθαρίσεις τις έννοιες!

Θα υιοθετήσω το σωστό για την απάντησή μου (την οποία σχεδόν αντιγράφω από παλαιότερο ποστ μου στο φόρουμ).

Ο ουσιαστικότερος λόγος που μας βολεύει να ορίσουμε την συνεπαγωγή ως αληθή όταν η υπόθεση είναι ψευδής (ό,τι και αν είναι το συμπέρασμα) είναι για να έχουμε ως θεώρημα το παρακάτω (με μπλε χρώμα). Σημειώνω ότι όλα τα σχετικά περαδείγματα, σαν και αυτά που ζητάς, είναι ουσιαστικά ειδικές περιπτώσεις του ακόλουθου.

Θεώρημα. Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.

Για την απόδειξη θέλουμε να δείξουμε κάτι της μορφής $x\in A \Rightarrow x\in B$ . Εδώ το είναι το κενό σύνολο οπότε η υπόθεση $x\in A$ είναι ψευδής, ό,τι και να κάνουμε. Πλην όμως, η απόδειξη είναι σωστή.

Τέτοιοι συλλογισμοί είναι συχνοί στα Μαθηματικά. Η αλήθεια είναι ότι τους αποφεύγουμε στα σχολικά Μαθηματικά γιατί μπερδεύονται τα παιδιά και όσοι εργάζονται εμπειρικά.

Η αποδοχή αυτών των συλλογισμών έχει τις ρίζες της στην αρχαιότητα, και αποδίδεται στον Φίλωνα τον Μεγαρέα. Είναι, θα έλεγα, ένα από τα υπέροχα εργαλεία του μαθηματικού που τακτοποιεί τις μορφές συλλογισμού που αποδεχόμαστε στην Λογική. Σε τυπική γλώσσα λέει, επαναλαμβάνω, ότι στον πίνακα αληθείας της συνεπαγωγής, "η ψευδής υπόθεση κάνει την συνεπαγωγή αληθή, ό,τι και αν είναι το συμπέρασμα".

Το σύνολο Β τι είναι;

#7

jeterion85 έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 14, 2017 9:33 pm
Το σύνολο Β τι είναι;

Οτιδήποτε.

Για να ρωτάς, μάλλον δεν έχεις καταλάβει αυτά που έγραψα.

Αν χρειαστεί θα απαντήσω λεπτομερέστερα. Για την ώρα βρίσκομαι στο εξωτερικό
και αύριο ταξιδεύω σχεδόν όλη μέρα, οπότε κάνε λίγη υπομονή. Γράψε όμως σε ποιο
σημείο έχεις αμφιβολία.

jeterion85 · #8

οκ θα περιμένω
Ευχαριστώ

jeterion85 · #9

Θέμα έχω στο πως γίνεται από μια ψευδής συνεπαγωγή να πάμε σε κάτι αληθές γιατί όσες φορές έχω δει μαθηματική συνεπαγωγή πάμε από αληθές σε αληθές π.χ ισχυεί Α άρα Β

dement · #10

jeterion85 έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 17, 2017 9:00 pm
Θέμα έχω στο πως γίνεται από μια ψευδής συνεπαγωγή να πάμε σε κάτι αληθές γιατί όσες φορές έχω δει μαθηματική συνεπαγωγή πάμε από αληθές σε αληθές π.χ ισχυεί Α άρα Β

Δεν είναι έτσι. Απλώς, όταν "κάνουμε μαθηματικά", συμβατικά τείνουμε να παραλείπουμε κάποιους καθολικούς ποσοδείκτες, οι οποίοι όμως βρίσκονται πάντα εκεί, έστω και "αόρατοι".

Π.χ. όταν χρησιμοποιούμε τη συνεπαγωγή

$x^2 = 0 \implies x = 0$

αυτό που εννοούμε είναι

$\forall x \in \mathbb{R} \ \ x^2 = 0 \implies x = 0$ .

Η συνεπαγωγή ισχύει για κάθε πραγματικό

, είτε είναι

είτε όχι. Αν x=0

, τότε έχουμε την περίπτωση Αληθής $\implies$ Αληθής . Αν $x \neq 0$ , τότε έχουμε ψευδή υπόθεση και πάλι αληθή συνεπαγωγή.

Όταν λέμε ότι δεν ισχύει η συνεπαγωγή

$x^2 = 1 \implies x = 1$ ,

αυτό που εννοούμε είναι ότι δεν ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Πράγματι, ισχύει για x=1

(Αληθής $\implies$ Αληθής), ισχύει για $x^2 \neq 1$ (ψευδής υπόθεση) αλλά δεν ισχύει για x = -1

, όπου η υπόθεση είναι αληθής αλλά το συμπέρασμα ψευδές.

Όπως βλέπεις, είναι θεμελιώδους σημασίας το γεγονός ότι μία ψευδής υπόθεση κάνει την συνεπαγωγή αληθή.

#11

jeterion85 έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 17, 2017 9:00 pm
... όσες φορές έχω δει μαθηματική συνεπαγωγή πάμε από αληθές σε αληθές ...

Για ξανασκέψου το αυτό! Προσπάθησε να κατανοήσεις γιατί είναι κραυγαλέα λάθος.

Υπόδειξη

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

jeterion85 · #12

dement έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 17, 2017 9:12 pm

jeterion85 έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 17, 2017 9:00 pm
Θέμα έχω στο πως γίνεται από μια ψευδής συνεπαγωγή να πάμε σε κάτι αληθές γιατί όσες φορές έχω δει μαθηματική συνεπαγωγή πάμε από αληθές σε αληθές π.χ ισχυεί Α άρα Β
Δεν είναι έτσι. Απλώς, όταν "κάνουμε μαθηματικά", συμβατικά τείνουμε να παραλείπουμε κάποιους καθολικούς ποσοδείκτες, οι οποίοι όμως βρίσκονται πάντα εκεί, έστω και "αόρατοι".

Π.χ. όταν χρησιμοποιούμε τη συνεπαγωγή

$x^2 = 0 \implies x = 0$

αυτό που εννοούμε είναι

$\forall x \in \mathbb{R} \ \ x^2 = 0 \implies x = 0$ .

Η συνεπαγωγή ισχύει για κάθε πραγματικό , είτε είναι είτε όχι. Αν , τότε έχουμε την περίπτωση Αληθής $\implies$ Αληθής . Αν $x \neq 0$ , τότε έχουμε ψευδή υπόθεση και πάλι αληθή συνεπαγωγή.

Όταν λέμε ότι δεν ισχύει η συνεπαγωγή

$x^2 = 1 \implies x = 1$ ,

αυτό που εννοούμε είναι ότι δεν ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Πράγματι, ισχύει για (Αληθής $\implies$ Αληθής), ισχύει για $x^2 \neq 1$ (ψευδής υπόθεση) αλλά δεν ισχύει για , όπου η υπόθεση είναι αληθής αλλά το συμπέρασμα ψευδές.

Όπως βλέπεις, είναι θεμελιώδους σημασίας το γεγονός ότι μία ψευδής υπόθεση κάνει την συνεπαγωγή αληθή.

Μισό λίγο άμα πούμε ότι για χ!=0(Διάφορο δεν ξέρω να γράφω το σύμβολο) -> χ=0;
Αφού πήραμε υπόθεση ότι χ δεν είναι μηδέν άρα δεν γίνεται χ=0 αυτό είναι λάθος λογικά
(Με 0 και 1 λέω αν η πρόταση είναι αληθής η ψευδής)
Αν και καλό το παράδειγμα

jeterion85 · #13

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 17, 2017 9:57 pm

jeterion85 έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 17, 2017 9:00 pm
... όσες φορές έχω δει μαθηματική συνεπαγωγή πάμε από αληθές σε αληθές ...
Για ξανασκέψου το αυτό! Προσπάθησε να κατανοήσεις γιατί είναι κραυγαλέα λάθος.

Υπόδειξη

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Ξανδιάβασε το παράδειγμα που σου έγραψα με το κενό σύνολο.

Επειδή φοβάμαι ότι δεν γίνομαι κατανποητός ας γίνω πιο συγκεκριμένος.

α) Θυμίσου πότε λέμε $A \subseteq B$ για δύο δοσμένα σύνολα .

β) Αφού καταλάβεις ΚΑΛΑ τι σημαίνει το α) δείξε το εξής

$\emptyset \subseteq \mathbb R$ (εδώ το αριστερό σύνολο είναι το κενό
και το δεξί ειναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών).

γ) δείξε τώρα ότι $\emptyset \subseteq \emptyset$ .

Λοιπόν για να είναι ένα σύνολο Α υποσύνολο Β τότε κάθε χ στοιχείο του Α ανήκει Β
Αν πάρουμε το κενό σύνολο τότε όντως είναι υποσύνολο του R
Πες μου αν μπορείς αν σκέφτηκα καλά με το κενό
άμα πούμε για κάθε χ ανήκει κενό σύνολο τότε είναι ψευδές αφού το κενό δεν έχει στοιχεία τότε χ ανήκει κενό αυτό δεν είναι λάθος
σορρυ που σε δυσκολεύω

jeterion85 · #14

Να σε ρωτήσω αυτό μπορείς να μου το εξηγήσεις με ένα παράδειγμα από την καθημερινή μας ζωή γιατί σχετικά αυτά εφαρμόζονται και στις καθημερινές πρωτάσεις με τα επιχειρήματα

stranger · #15

Ένας τρόπος να το καταλάβεις είναι ο αυστηρός ορισμός της συνεπαγωγής. Δηλαδή, τι σημαίνει $A \implies B$ ;
Εξ'ορισμού το $A \implies B$ σημαίνει not(A)

η

, όπου

είναι η άρνηση του

.
Οπότε αν

είναι μια μαθηματική πρόταση, τότε η πρόταση $0=1 \implies P$ είναι πάντα αληθής, αφού η πρόταση not(1=0)

είναι αληθής.

Alex Them · #16

Χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα-εξήγηση από το βιβλίο (Διακριτά Μαθηματικά και εφαρμογές τους , του Kenneth H. Rosen),

Η πρόταση "Αν ο Χουάν έχει έξυπνο τηλέφωνο, " , είναι αληθής, από τον ορισμό των προτάσεων υπό συνθήκη, επειδή το συμπέρασμα είναι αληθές( η τιμή αλήθειας της υπόθεσης δεν έχει σημασία σε αυτήν την περίπτωση)

Άρα σου λέει ότι όπως και να αρχίσεις , αν φτάσεις σε σωστό τότε "αλήθεια είπες στο τέλος".(Βέβαια μόνο για το τι είπες στο τέλος διότι
$-1=0 \Rightarrow -1*0=0*0 \Rightarrow 0=0$ Αλλά σίγουρα όχι $-1=0 \Leftrightarrow 1*0=0*0 \Leftrightarrow 0=0$ )

Υ.Γ. Επειδή και εγώ είμαι φοιτητής και τα λέω έτσι όπως τα έχω καταλάβει , αν το από πάνω που έχω γράψει είναι λάθος, να διορθωθεί/διαγραφεί.

stranger · #17

Alex Them έγραψε: ↑
Τετ Απρ 29, 2020 11:25 pm
Χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα-εξήγηση από το βιβλίο (Διακριτά Μαθηματικά και εφαρμογές τους , του Kenneth H. Rosen),

Η πρόταση "Αν ο Χουάν έχει έξυπνο τηλέφωνο, " , είναι αληθής, από τον ορισμό των προτάσεων υπό συνθήκη, επειδή το συμπέρασμα είναι αληθές( η τιμή αλήθειας της υπόθεσης δεν έχει σημασία σε αυτήν την περίπτωση)
Άρα σου λέει ότι όπως και να αρχίσεις , αν φτάσεις σε σωστό τότε "αλήθεια είπες στο τέλος".(Βέβαια μόνο για το τι είπες στο τέλος διότι
$-1=0 \Rightarrow -1*0=0*0 \Rightarrow 0=0$ Αλλά σίγουρα όχι $-1=0 \Leftrightarrow 1*0=0*0 \Leftrightarrow 0=0$ )

Υ.Γ. Επειδή και εγώ είμαι φοιτητής και τα λέω έτσι όπως τα έχω καταλάβει , αν το από πάνω που έχω γράψει είναι λάθος, να διορθωθεί/διαγραφεί.

Οι δύο περιπτώσεις να είναι αληθής η $A \implies B$ είναι όταν η

είναι αληθής η όταν η

είναι ψευδής.
Αυτό μπορεί να φανεί, όπως είπα και παραπάνω ότι $A \implies B$ σημαίνει not(A)

η

.
Δηλαδή, αυτό που είπες παραπάνω(οτι δηλαδη αν η

είναι αληθής τότε η $A \implies B$ είναι αληθής) είναι απόλυτα σωστό.
Για παράδειγμα αν έχουμε μια μαθηματική πρόταση

τότε η πρόταση $P \implies 2+3=5$ είναι αληθής με τετριμμένο τρόπο.

kkala · #18

jeterion85 έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 10, 2017 7:14 pm
Καλησπέρα ξεκινήσαμε σήμερα μαθηματική λογική στο πανεπιστήμιο μου και μας έκανε τον πίνακα αληθείας της επαγωγής και δεν μπορώ να καταλάβω πως από μια ψευδή πρόταση τότε αληθής και να είναι όλη η πρόταση αληθής έχει κάποιος ένα παράδειγμα που να το δείχνει (αν γίνετε με τρόπο της καθημερινότητας)

Έχοντας διαβάσει τα προηγούμενα άρθρα (χωρίς να καταλαβαίνω τα πάντα), ελπίζω να είναι χρήσιμο το παρακάτω "αφελές" παράδειγμα, που αναφέρεται σε φυσιολογικούς σκύλους.
q: Κάθε σκύλος έχει δύο κεφάλια (εξωπραγματική υπόθεση, που δεχόμαστε ότι ισχύει)
p: Έχω ένα σκύλο (αληθές)
q $\large ;\Rightarrow$ p: Ο σκύλος μου έχει δύο κεφάλια (εξωπραγματικό, αλλά αληθές βάσει του q). Ο συλλογισμός είναι ορθός (γι αυτό ο λογικός πίνακας γράφει αληθές. ίσως ήταν καλύτερο το "τυπικά αληθές").
Άλλη έκφραση του παραπάνω: Εάν οι σκύλοι είχαν δύο κεφάλια, ο σκύλος μου θα είχε δύο κεφάλια. Κάτι σαν υποθετικός λόγος 2ου (απλή σκέψη) ή 3ου είδους (απραγματοποίητο) των Αρχαίων ή των Αγγλικών.
Βοήθεια στο θέμα αυτό μπορεί να βρεθεί στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β! Λυκείου του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Κύπρου, Α! τεύχος (μπορεί να κατέβει και από web), Κεφ 1.1 Εισαγωγή στη Μαθηματική Λογική, Συνεπαγωγή, σελ. 24, όπου επίσης σημειώνονται:
Αν η υπόθεση είναι ψευδής και το συμπέρασμα αληθές, δεν έχουμε κανένα λόγο να απορρίψουμε τον συλλογισμό. Γι’ αυτό δεχόμαστε αληθή τη συνεπαγωγή. Θα μπορούσε κάποιος δικαιολογημένα να αναρωτηθεί πώς είμαστε σίγουροι ότι ο συλλογισμός είναι αληθής; «Εδώ έχουμε μια θεωρητική υπέρβαση της κοινής λογικής»

stranger · #19

Νομίζω πως μπορούμε να μιλάμε για αυτό το θέμα αόριστα για πολύ καιρό χωρίς να βγάλουμε άκρη.
Αυτό που διαφοροποιεί τα μαθηματικά από τις άλλες επιστήμες είναι η λογική αυστηρότητα και ο θρίαμβος της λογικής.
Τα πάντα στα μαθηματικά είναι λογική.
Το λέω αυτό επειδή για να συμφωνήσουμε με κάτι στα μαθηματικά πρέπει πρώτα να το έχουμε ορίσει αυστηρά.
Αυτός είναι ο λόγος που έδωσα τον ορισμό της συνεπαγωγής γιατί αν έχουμε αυτόν τα υπόλοιπα είναι αναπόδραστα συμπεράσματα.

kkala · #20

Βεβαίως τα Μαθηματικά χρειάζονται αυστηρές θεμελιώσεις για αποφυγή παρανοήσεων. Αυτό ισχύει απόλυτα στα μαθηματικά σαν επιστήμη, αλλά στην διδασκαλία τους δεν είναι κακό να απλοποιούνται κάποιες δύσκολες έννοιες για πρώτη κατανόηση από τον μαθητή, πράγμα που συνεπάγεται πολλές φορές κάποια θυσία της σαφήνειας. που μπορεί να αποκατασταθεί σε ωριμότερη ηλικία (αν χρειάζεται).
Παραδείγματα: Πρώτα μαθαίνουμε Πρακτική Γεωμετρία (Ευκλείδεια), αργότερα Θεωρητική Γεωμετρία και ίσως στο Πανεπιστήμιο έλθουμε σε επαφή με "ασθενή" σημεία της Γεωμετρίας του Ευκλείδη, όπως διατυπώθηκαν τον 20ο αιώνα (π.χ. ΕΜΕ, η Ευκλείδεια Γεωμετρία από ανώτερη σκοπιά). Όσο κι αν λέμε ότι ο γνώστης μπορεί να πεί το περίπλοκο με απλά λόγια, η Γεωμετρία είναι ανάγκη να διδαχθεί σε στάδια αυξανόμενης αυστηρότητας. Και συνήθως το αρχικό στάδιο δίνει παραδείγματα και αποφεύγει ορισμούς.
Ο Ν. Δ. Νικολάου έγραφε ''ηκολουθήσαμεν εις όλα σχεδόν τα θέματα την διδακτικήν αρχήν <<από των παραδειγμάτων εις την θεωρίαν, από των συγκεκριμένων εις τα αφηρημένα>>" (Μεγάλη Άλγεβρα , 1932, και αλλού). Τα ίδια εφαρμόζει και ο Νείλος Σακελλαρίου (Άλγεβρα ΟΕΣΒ, 1951) για να καταλάβουν οι μαθητές την έννοια του ορίου. Αρχίζει με ένα κινητικό ορισμό (μεταβλητή που συνεχώς πλησιάζει) και γραφικό παράδειγμα (σελ172). Αργότερα συμπληρώνει με στοιχειώδη εψιλοντικό ορισμό του ορίου ακολουθίας και μεταβλητής, εμπλουτισμένο με παραδείγματα (σελ 303-308).
Ακόμα και στο Πανεπιστήμιο, τα παραδείγματα και οι εφαρμογές έχουν μεγάλη αξία, ιδίως άν υπάρχουν ελλείψεις. Η Μαθηματική Λογική φαίνεται μάλλον "στριφνό" μάθημα (ιδίως σε όσους από εμάς δεν έχουν εξοικειωθεί) . Θυμάμαι κάποιο λιθόγραφο Φιλοσοφίας των αρχών 1960 (κατά τις παραδόσεις Δ. Βεζανή) που αντιτίθετο στη μαθηματικοποίση της Λογικής, προφανώς εξαιτίας των δυσκολιών (Το Κυπριακό βιβλίο που αναφέρεται στην #18 φαίνεται "πυκνογραμμένο").

Συνεπαγωγή από 0->1

Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Re: Συνεπαγωγή από 0->1

Μέλη σε σύνδεση