Υπάρχει μεγιστικό καλώς διατεταγμένο;

Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4244
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Υπάρχει μεγιστικό καλώς διατεταγμένο;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Παρ Απρ 14, 2017 11:46 pm

Η αναφορά μου σε λανθασμένη απόδειξη εδώ δεν ήταν σχήμα λόγου. Σε μια πρόσφατη απόδειξη που ανήρτησα για αυτό το θέμα και απέσυρα χρησιμοποίησα τον παρακάτω ισχυρισμό:
"Σε κάθε μερικώς διατεταγμένο σύνολο υπάρχει μεγιστικό καλώς διατεταγμένο υποσύνολο του".
Ο ισχυρισμός, όπως που επεσήμανε το Δημήτρης (dement) είναι εσφαλμένος. Γιατί;
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4244
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Υπάρχει μεγιστικό καλώς διατεταγμένο;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Ιουν 11, 2017 1:23 am

Μιας και βρήκα λίγο χρόνο και ελλείψει απάντησης γράφω μια:
Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικώς (άρα και μερικώς) διατεταγμένο σύνολο A που είναι πυκνό στον εαυτό του, δηλαδή μεταξύ δύο στοιχείων του υπάρχει ένα τρίτο (μπορούμε να πάρουμε το [0,1]). Το A δεν είναι καλώς διατεταγμένο διότι αν ήταν θα είχε πρώτο στοιείο a αλλα το σύνολο των στοιχείων x>a δεν έχει πρώτο στοιχείο (αν είχε κάποιο b λόγω πυκνότητας θα διέθετε και ένα στοιχείο μεταξύ a και b άτοπο). Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μεγιστικό καλώς διατεταγμένο υποσύνολο του B. Θα είναι φυσικά B \neq A. Θεωρούμε ένα στοιχείο p \in B και το επόμενο του p* στο καλώς διατεταγμένο σύνολο B. Λόγω της πυκνότητας του A θα υπάρχει q στο A ώστε p<q<p*. Έστω C=B\cup \left\{ q\right\} γραμμικώς διατεταγμένο με την διάταξη του A. Διαπιστώνεται εύκολα ότι το C είναι καλώς διατεταγμένο και επομένως το B δεν είναι μεγιστικό (άτοπο).
Άρα ο ισχυρισμός είναι εσφαλμένος.
Μαυρογάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης