Cantor-Schröder-Bernstein
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Cantor-Schröder-Bernstein
Έστω σύνολα και έστω ένα προς ένα συναρτήσεις και . Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα προς ένα και επί συνάρτηση .
Υπάρχουν διάφορες αποδείξεις. Την έβαλα με αφορμή το θεώρημα σταθερού σημείου των Knaster-Tarski που είδαμε εδώ μιας και οδηγεί σε μία από τις αποδείξεις.
Υπάρχουν διάφορες αποδείξεις. Την έβαλα με αφορμή το θεώρημα σταθερού σημείου των Knaster-Tarski που είδαμε εδώ μιας και οδηγεί σε μία από τις αποδείξεις.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Cantor-Schröder-Bernstein
Ορίζουμε με
1. αν για κάποια και .
2. διαφορετικά.
Παρατηρούμε ότι:
- Η είναι καλώς ορισμένη. Πράγματι, αν για τότε (λόγω του 1-1 των ).
- Η είναι επί. Πράγματι, αν για το ισχύει για κάποια τότε , αλλιώς και .
- Η είναι 1-1. Πράγματι, αν , τότε τα υπόκεινται είτε και τα δύο στην περίπτωση (1) είτε στην περίπτωση (2) (λόγω του 1-1 της ). Στην πρώτη περίπτωση, . Στη δεύτερη περίπτωση, .
1. αν για κάποια και .
2. διαφορετικά.
Παρατηρούμε ότι:
- Η είναι καλώς ορισμένη. Πράγματι, αν για τότε (λόγω του 1-1 των ).
- Η είναι επί. Πράγματι, αν για το ισχύει για κάποια τότε , αλλιώς και .
- Η είναι 1-1. Πράγματι, αν , τότε τα υπόκεινται είτε και τα δύο στην περίπτωση (1) είτε στην περίπτωση (2) (λόγω του 1-1 της ). Στην πρώτη περίπτωση, . Στη δεύτερη περίπτωση, .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες