Λογικές Προτάσεις

ma128 · #1

Προσπαθούσα να λύσω μία ασκησούλα η οποία νομίζω οτι μάλλον δεν είναι καλά διατυπωμένη καθώς μου βγάζει πολλά αποτελέσματα και όχι ένα όπως ζητάει. Θα ήθελα την οπτική σας.

Ο Αλέξανδρος η ΄Αννα και ο Αντώνης, ρωτήθηκαν αν είναι εμβολιασμένοι κατά του Covid-19. Η
απάντησή τους ήταν η εξής:
‘‘ Αν η ΄Αννα είναι εμβολιασμένη, τότε δεν είναι εμβολιασμένος ο Αντώνης ’’
και ‘‘ δεν είναι σωστό ότι αν ο Αλέξανδρος είναι εμβολιασμένος τότε δεν είναι εμβολιασμένη η ΄Αννα ’’.
Με δεδομένο ότι η απάντηση τους είναι αληθής, να βρείτε ποιοι είναι εμβολιασμένοι και ποιοι όχι.

#2

Νομίζω ότι εμβολιασμένοι είναι η ο Αλέξανδρος και η Άννα και όχι ο Αντώνης. Αν δεν μου έχει κάτι διαφύγει, θα γράψω αργότερα την
εξήγηση. Αλλά ας περιμένουμε και άλλες απόψεις

ma128 · #3

Πράγματι μονο αυτή είναι η λύση, τώρα αντιλήφθηκα ότι προηγουμένως είχα μπερδευτεί και έβγαζα και άλλες λύσεις πέρα απο αυτή.

abgd · #4

ma128 έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 29, 2022 10:10 am
Προσπαθούσα να λύσω μία ασκησούλα η οποία νομίζω οτι μάλλον δεν είναι καλά διατυπωμένη καθώς μου βγάζει πολλά αποτελέσματα και όχι ένα όπως ζητάει. Θα ήθελα την οπτική σας.

Ο Αλέξανδρος η ΄Αννα και ο Αντώνης, ρωτήθηκαν αν είναι εμβολιασμένοι κατά του Covid-19. Η
απάντησή τους ήταν η εξής:
‘‘ Αν η ΄Αννα είναι εμβολιασμένη, τότε δεν είναι εμβολιασμένος ο Αντώνης ’’
και ‘‘ δεν είναι σωστό ότι αν ο Αλέξανδρος είναι εμβολιασμένος τότε δεν είναι εμβολιασμένη η ΄Αννα ’’.
Με δεδομένο ότι η απάντηση τους είναι αληθής, να βρείτε ποιοι είναι εμβολιασμένοι και ποιοι όχι.

Αφού η δεύτερη συνεπαγωγή είναι Ψευδής θα πρέπει ο Αλέξανδρος και η Άννα να είναι εμβολιασμένοι, (Αληθής υπόθεση και Ψευδές συμπέρασμα).
Αφου η πρώτη συνεπαγωγή είναι Αληθής και η υπόθεσή της είναι επίσης Αληθής θα πρέπει και το συμπέρασμα να είναι Αληθές, δηλαδή ο Αντώνης δεν είναι εμβολιασμένος.

#5

ma128 έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 29, 2022 10:10 am
Ο Αλέξανδρος η ΄Αννα και ο Αντώνης, ρωτήθηκαν αν είναι εμβολιασμένοι κατά του Covid-19. Η
απάντησή τους ήταν η εξής:
‘‘ Αν η ΄Αννα είναι εμβολιασμένη, τότε δεν είναι εμβολιασμένος ο Αντώνης ’’
και ‘‘ δεν είναι σωστό ότι αν ο Αλέξανδρος είναι εμβολιασμένος τότε δεν είναι εμβολιασμένη η ΄Αννα ’’.
Με δεδομένο ότι η απάντηση τους είναι αληθής, να βρείτε ποιοι είναι εμβολιασμένοι και ποιοι όχι.

Η άσκηση είναι ήδη λυμένη από τους προλαλήσαντες, αξίζει όμως να αναφέρω μία μεθοδολογία που αντιμετωπίζει όλες τις ασκήσεις αυτού του τύπου. Έχει το πλεονέκτημα ότι είναι τυφλωσούρτης (δεν χρειάζεται δηλαδή να σκεφτείς με τεχνάσματα) αλλά πληρώνεις τίμημα ότι έχει πολλές και ανιαρές πράξεις.

Εργαζόμαστε με πίνακα αληθείας.

Θεωρούμε $P,\,Q,\,R$ τις προτάσεις:

O Αλέξανδρος είναι εμβολιασμένος

O Αντώνης είναι εμβολιασμένος

Η Άννα είναι εμβολιασμένη

Με αυτά, οι υποθέσεις μας γράφονται

"Αν η ΄Αννα είναι εμβολιασμένη, τότε δεν είναι εμβολιασμένος ο Αντώνης" μεταφράζεται ως $R\Rightarrow (\sim Q)$ και η
"δεν είναι σωστό ότι αν ο Αλέξανδρος είναι εμβολιασμένος τότε δεν είναι εμβολιασμένη η Άννα" ως $\sim (P\Rightarrow (\sim R))$

Δηλαδή ψάχνουμε πότε αληθεύει η $[R\Rightarrow (\sim Q)]\wedge [\sim (P\Rightarrow (\sim R))]$

Φτιάχνουμε τώρα τον πίνακα αληθείας των $P,\,Q,\, R$ ανάλογα πότε οι προτάσεις αυτές είναι αληθείς,

, ή ψευδείς $\Psi$ . Έχει φυσικά οκτώ γραμμές $AAA,\, AA\Psi ,\, ... \, ,\, \Psi \, \Psi \Psi$ και θα χρειαστεί να κατασκευάσουμε αρκετές στήλες για να φτάσουμε να έχουμε την στήλη αληθείας της ζητούμενης πρότασης.

Στην συγκεκριμένη περίπτωαη θα διαπιστώσουμε ότι η δοθείσα είναι αληθής (μόνο) στην περίπτωση $(P,\,Q,\,R)=(A,\, \Psi ,\, A)$ . Δηλαδή ξαναβρήκαμε την απάντηση που έδωσαν με κομψότερη μέθοδοοι προλαλήσαντες.

ma128 · #6

Πράγματι, και εγώ έτσι το έλυσα απλώς στην αρχή μπερδεύτηκα και είχα κατασκευάσει λάθος τις προτάσεις.

Christos.N · #7

Λίγο παραλλαγμένα (με χρήση ταυτολογιών) από την λύση του Κ.Λάμπρου.

: Η 'Αννα εμβολιάστηκε

: Ο Αντώνης εμβολιάστηκε

: Ο Αλέξανδρος εμβολιάστηκε

Ισχύει ότι

$(p\Rightarrow q')\wedge (r\Rightarrow p')'\Leftrightarrow(p'\vee q')\wedge (r\wedge p)\Leftrightarrow \cancelto{0}{(p'\wedge r\wedge p)} \vee (q'\wedge r\wedge p)\Leftrightarrow q'\wedge r\wedge p$

Θέλουμε να είναι ο τύπος μας πάντα αληθής ,άρα p=q'=r=1

δηλαδή

: Η 'Αννα εμβολιάστηκε ...........αληθής

: Ο Αντώνης εμβολιάστηκε........ψευδής

: Ο Αλέξανδρος εμβολιάστηκε.....αληθής

labrosb · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 30, 2022 7:29 am

ma128 έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 29, 2022 10:10 am
Ο Αλέξανδρος η ΄Αννα και ο Αντώνης, ρωτήθηκαν αν είναι εμβολιασμένοι κατά του Covid-19. Η
απάντησή τους ήταν η εξής:
‘‘ Αν η ΄Αννα είναι εμβολιασμένη, τότε δεν είναι εμβολιασμένος ο Αντώνης ’’
και ‘‘ δεν είναι σωστό ότι αν ο Αλέξανδρος είναι εμβολιασμένος τότε δεν είναι εμβολιασμένη η ΄Αννα ’’.
Με δεδομένο ότι η απάντηση τους είναι αληθής, να βρείτε ποιοι είναι εμβολιασμένοι και ποιοι όχι.
Η άσκηση είναι ήδη λυμένη από τους προλαλήσαντες, αξίζει όμως να αναφέρω μία μεθοδολογία που αντιμετωπίζει όλες τις ασκήσεις αυτού του τύπου. Έχει το πλεονέκτημα ότι είναι τυφλωσούρτης (δεν χρειάζεται δηλαδή να σκεφτείς με τεχνάσματα) αλλά πληρώνεις τίμημα ότι έχει πολλές και ανιαρές πράξεις.

Εργαζόμαστε με πίνακα αληθείας.

Θεωρούμε $P,\,Q,\,R$ τις προτάσεις:

O Αλέξανδρος είναι εμβολιασμένος
O Αντώνης είναι εμβολιασμένος
Η Άννα είναι εμβολιασμένη

Με αυτά, οι υποθέσεις μας γράφονται

"Αν η ΄Αννα είναι εμβολιασμένη, τότε δεν είναι εμβολιασμένος ο Αντώνης" μεταφράζεται ως $R\Rightarrow (\sim Q)$ και η
"δεν είναι σωστό ότι αν ο Αλέξανδρος είναι εμβολιασμένος τότε δεν είναι εμβολιασμένη η Άννα" ως $\sim (P\Rightarrow (\sim R))$

Δηλαδή ψάχνουμε πότε αληθεύει η $[R\Rightarrow (\sim Q)]\wedge [\sim (P\Rightarrow (\sim R))]$

Φτιάχνουμε τώρα τον πίνακα αληθείας των $P,\,Q,\, R$ ανάλογα πότε οι προτάσεις αυτές είναι αληθείς, , ή ψευδείς $\Psi$ . Έχει φυσικά οκτώ γραμμές $AAA,\, AA\Psi ,\, ... \, ,\, \Psi \, \Psi \Psi$ και θα χρειαστεί να κατασκευάσουμε αρκετές στήλες για να φτάσουμε να έχουμε την στήλη αληθείας της ζητούμενης πρότασης.

Στην συγκεκριμένη περίπτωαη θα διαπιστώσουμε ότι η δοθείσα είναι αληθής (μόνο) στην περίπτωση $(P,\,Q,\,R)=(A,\, \Psi ,\, A)$ . Δηλαδή ξαναβρήκαμε την απάντηση που έδωσαν με κομψότερη μέθοδοοι προλαλήσαντες.

https://trutabgen.com/

χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακα αληθείας βλέπουμε οτι:

$((R\implies(\neg Q))\wedge(\neg(P\implies (\neg R)))\implies((P\wedge R)\wedge(\neg Q)$

Είναι ταυτολογία

Αλλά αυτή είναι η σημασιολογική απόδειξη του προβλήματος

Τώρα έπεται η συντακτική απόδειξη χρησιμοποιώντας τους κανόνες του προτασιακού λογισμού

Έχουμε λοιπόν:

1) $R\implies(\neg Q)$ ..........................................υπόθεση

2) $\neg (P\implies(\neg R))$ ......................................υπόθεση

3) $\neg(\neg P\vee (\neg R))$ ..................................από 2 και χρησ. τον κανόνα: $A\implies B\Leftrightarrow\neg A\vee B$ material implication κανόνας αντικαταστάσεως

4) $\neg\neg P\wedge\neg\neg R$ .................................................από 3 και χρησ. De Morgan

5) $\neg\neg P$ .............................................................. από 4 και χρησ. τον κανόνα απλουστεύσεως addition elimination

6) $\neg\neg R$ ..............................................................από 4 και χρησ. τον κανόνα απλουστεύσεως addition elimination

7)

.........................................................................από 5 και χρησ. τον κανόνα της διπλής αρνήσεως

8)

........................................................................ ..από 6 και χρησ. τον κανόνα της διπλής αρνήσεως

9) $\neg Q$ .....................................................................Από 1 και 8 και χρησ. τον κανόνα αποσπασεως

βλέπουμε λοιπόν ότι αλεξ. και Άννα εμβολιασμένοι και Αντώνης όχι

adnanmushtaque · #9

ma128 έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 29, 2022 10:10 am
Προσπαθούσα να λύσω μία ασκησούλα η οποία νομίζω οτι μάλλον δεν είναι καλά διατυπωμένη καθώς μου βγάζει πολλά αποτελέσματα και όχι ένα όπως ζητάει. Θα ήθελα την οπτική σας.

Ο Αλέξανδρος η ΄Αννα και ο Αντώνης, ρωτήθηκαν αν είναι εμβολιασμένοι κατά του Covid-19. Η
απάντησή τους ήταν η εξής:
‘‘ Αν η ΄Αννα είναι εμβολιασμένη, τότε δεν είναι εμβολιασμένος ο Αντώνης ’’
και ‘‘ δεν είναι σωστό ότι αν ο Αλέξανδρος είναι εμβολιασμένος τότε δεν είναι εμβολιασμένη η ΄Αννα ’’.
Με δεδομένο ότι η απάντηση τους είναι αληθής, να βρείτε ποιοι είναι εμβολιασμένοι και ποιοι όχι.

This problem revolves around understanding logical statements. Let’s break it down systematically using logical reasoning, which is closely related to the mechanics of a truth table solver.

Analyzing the Statements
"If Anna is vaccinated, then Antonis is not vaccinated"

This is a conditional statement:
𝐴
→
¬
𝑁
A→¬N
(If Anna is vaccinated
𝐴
A, then Antonis is not vaccinated
𝑁
N).
"It is not correct that if Alexandros is vaccinated then Anna is not vaccinated."

This negates a conditional:
¬
(
𝑋
→
¬
𝐴
)
¬(X→¬A).
Using logic,
𝑋
→
¬
𝐴
X→¬A is equivalent to
¬
𝑋
∨
¬
𝐴
¬X∨¬A. The negation would be:
𝑋
∧
𝐴
X∧A (Alexandros and Anna both vaccinated).
Solution Process
Given both statements are true:

From the first statement:

If Anna is vaccinated (
𝐴
A), then Antonis is not vaccinated (
𝑁
N).
This means either:
𝐴
A is false (Anna is not vaccinated).
Or
¬
𝑁
¬N is true (Antonis is not vaccinated).
From the second statement:

𝑋
∧
𝐴
X∧A must be true (both Alexandros and Anna are vaccinated).
Conclusion
From the second statement: Alexandros and Anna are vaccinated.
From the first statement: If Anna is vaccinated, Antonis must not be vaccinated.
Final Answer
Alexandros: Vaccinated
Anna: Vaccinated
Antonis: Not vaccinated
Using a truth table solver, such logical puzzles become more manageable. Check out a practical example with a truth table solver to break down these statements step-by-step!

Λογικές Προτάσεις

Λογικές Προτάσεις

Re: Λογικές Προτάσεις

Re: Λογικές Προτάσεις

Re: Λογικές Προτάσεις

Re: Λογικές Προτάσεις

Re: Λογικές Προτάσεις

Re: Λογικές Προτάσεις

Re: Λογικές Προτάσεις

Re: Λογικές Προτάσεις

Μέλη σε σύνδεση