Απαρίθμηση

giwrgos1
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2021 1:44 pm

Απαρίθμηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giwrgos1 » Παρ Μάιος 21, 2021 4:36 pm

Με πόσους τρόπους μπορούμε να μοιράσουμε 21 διαφορετικά βιβλία στα άτομα Α,Β και Γ , ούτως έτσι οι Α και Β μαζί να πάρουν διπλάσια βιβλία από τον Γ ;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Απαρίθμηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μάιος 22, 2021 1:16 am

giwrgos1 έγραψε:
Παρ Μάιος 21, 2021 4:36 pm
Με πόσους τρόπους μπορούμε να μοιράσουμε 21 διαφορετικά βιβλία στα άτομα Α,Β και Γ , ούτως έτσι οι Α και Β μαζί να πάρουν διπλάσια βιβλία από τον Γ ;
Νομίζω ότι είναι αρκετά στάνταρ και απλή άσκηση που θα πρέπει να μπορεί να την λύσεις μόνος.

Υπόδειξη: Ο Γ θα πάρει 7 βιβλία.

Θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου.


giwrgos1
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2021 1:44 pm

Re: Απαρίθμηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giwrgos1 » Κυρ Μάιος 23, 2021 4:59 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Μάιος 22, 2021 1:16 am
giwrgos1 έγραψε:
Παρ Μάιος 21, 2021 4:36 pm
Με πόσους τρόπους μπορούμε να μοιράσουμε 21 διαφορετικά βιβλία στα άτομα Α,Β και Γ , ούτως έτσι οι Α και Β μαζί να πάρουν διπλάσια βιβλία από τον Γ ;
Νομίζω ότι είναι αρκετά στάνταρ και απλή άσκηση που θα πρέπει να μπορεί να την λύσεις μόνος.

Υπόδειξη: Ο Γ θα πάρει 7 βιβλία.

Θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου.
Τα πρώτα 7βιβλία θα πάνε στον Γ μπορούν να μοιραστούν σε C\binom{21}{7} . , τα 14 βιβλία που μένουν στους 2 Α , Β και μπορούν να μοιραστούν με C\binom{14}{2} τρόπους
Άρα C\binom{21}{7}*C\binom{14}{2}=\frac{21!}{7!\left ( 21-7 \right )!}*\frac{14!}{2!\left ( 14-2 \right )!}
Έχω κάπου λάθος κύριε Λάμπρου;


Άβαταρ μέλους
Lymperis Karras
Δημοσιεύσεις: 93
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm

Re: Απαρίθμηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Lymperis Karras » Κυρ Μάιος 23, 2021 7:53 pm

giwrgos1 έγραψε:
Κυρ Μάιος 23, 2021 4:59 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Μάιος 22, 2021 1:16 am
giwrgos1 έγραψε:
Παρ Μάιος 21, 2021 4:36 pm
Με πόσους τρόπους μπορούμε να μοιράσουμε 21 διαφορετικά βιβλία στα άτομα Α,Β και Γ , ούτως έτσι οι Α και Β μαζί να πάρουν διπλάσια βιβλία από τον Γ ;
Νομίζω ότι είναι αρκετά στάνταρ και απλή άσκηση που θα πρέπει να μπορεί να την λύσεις μόνος.

Υπόδειξη: Ο Γ θα πάρει 7 βιβλία.

Θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου.
Τα πρώτα 7βιβλία θα πάνε στον Γ μπορούν να μοιραστούν σε C\binom{21}{7} . , τα 14 βιβλία που μένουν στους 2 Α , Β και μπορούν να μοιραστούν με C\binom{14}{2} τρόπους
Άρα C\binom{21}{7}*C\binom{14}{2}=\frac{21!}{7!\left ( 21-7 \right )!}*\frac{14!}{2!\left ( 14-2 \right )!}
Έχω κάπου λάθος κύριε Λάμπρου;
Είσαι σίγουρος? Γιατί να είναι \dbinom{14}{2}? Αυτό προυποθέτει να ξέρεις ότι ο ένας θα πάρει 2 και ο άλλος 12 βιβλία, αλλά εσύ δεν έχεις ορίσει πόσα βιβλία θα πάρει ο καθένας από τους Α και Β. Οπότε εγώ θα έλεγα πως είναι \dbinom{21}{7}*\sum_{n=0}^{14}\dbinom{14}{n}
τελευταία επεξεργασία από Lymperis Karras σε Κυρ Μάιος 23, 2021 10:59 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8626
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Απαρίθμηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Μάιος 23, 2021 8:07 pm

Lymperis Karras έγραψε:
Κυρ Μάιος 23, 2021 7:53 pm
Οπότε εγώ θα έλεγα πως είναι \dbinom{21}{7}*\sum_{n=1}^{7}\dbinom{14}{n}
Λάθος και αυτό. Γιατί το άθροισμα να είναι από το 1 ως το 7;


Άβαταρ μέλους
Lymperis Karras
Δημοσιεύσεις: 93
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm

Re: Απαρίθμηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Lymperis Karras » Κυρ Μάιος 23, 2021 8:25 pm

Demetres έγραψε:
Κυρ Μάιος 23, 2021 8:07 pm
Lymperis Karras έγραψε:
Κυρ Μάιος 23, 2021 7:53 pm
Οπότε εγώ θα έλεγα πως είναι \dbinom{21}{7}*\sum_{n=1}^{7}\dbinom{14}{n}
Λάθος και αυτό. Γιατί το άθροισμα να είναι από το 1 ως το 7;
Τυπογραφικό...συγχωρέστε με. Μέχρι το 14 είναι.


Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8626
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Απαρίθμηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Μάιος 23, 2021 9:34 pm

Ναι αλλά είναι από το 0 ως το 14 όχι από το 1 ως το 14.

Επιπλέον ερώτηση: Με τι ισούται το \displaystyle  \sum_{n=0}^{14}  \binom{14}{n}


Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 158
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Απαρίθμηση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Κυρ Μάιος 23, 2021 10:26 pm

Demetres έγραψε:
Κυρ Μάιος 23, 2021 9:34 pm
Ναι αλλά είναι από το 0 ως το 14 όχι από το 1 ως το 14.

Επιπλέον ερώτηση: Με τι ισούται το \displaystyle  \sum_{n=0}^{14}  \binom{14}{n}
Μία γενίκευση για το παραπάνω.
Από το διωνυμικό ανάπτυγμα έχουμε 2^{k}=(1+1)^{k}= \displaystyle \sum_{n=0}^{k}  \binom{k}{n}\cdot 1^n \cdot 1^{k-n}=\displaystyle \sum_{n=0}^{k}  \binom{k}{n}


Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 158
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Απαρίθμηση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Κυρ Μάιος 23, 2021 10:42 pm

Εναλλακτικά μία δεύτερη λύση με συνδυαστική.
Για το 1ο βιβλίο έχουμε 2 επιλογές (να το πάρει ο Α ή να το πάρει ο Β, για το 2ο έχουμε 2 επιλογές ,......., για το 14ο έχουμε 2.
Από τη βασική αρχή απαρίθμησης υπάρχουν 2^{14} τρόποι να δοθούν τα 14 βιβλία και από την αρχή της διπλής μέτρησης είναι \displaystyle  \sum_{n=0}^{14}  \binom{14}{n}=2^{14}


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8626
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Απαρίθμηση

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Μάιος 24, 2021 12:24 pm

Manolis Petrakis έγραψε:
Κυρ Μάιος 23, 2021 10:42 pm
Εναλλακτικά μία δεύτερη λύση με συνδυαστική.
Για το 1ο βιβλίο έχουμε 2 επιλογές (να το πάρει ο Α ή να το πάρει ο Β, για το 2ο έχουμε 2 επιλογές ,......., για το 14ο έχουμε 2.
Από τη βασική αρχή απαρίθμησης υπάρχουν 2^{14} τρόποι να δοθούν τα 14 βιβλία και από την αρχή της διπλής μέτρησης είναι \displaystyle  \sum_{n=0}^{14}  \binom{14}{n}=2^{14}
Αυτό ακριβώς περίμενα. Μπορούσαμε λοιπόν να γράψουμε από την αρχή το 2^{14} χωρίς να πάμε μέσω του αθροίσματος διωνυμικών.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης