Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

Συντονιστής: nkatsipis

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 1257
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Ιουν 24, 2024 4:33 pm

Κώστα νομίζω το παρακάτω απαντάει στο ερώτημα σου.

https://projecteuclid.org/journals/bull ... 93098.full

stranger έγραψε:
Κυρ Ιουν 23, 2024 7:14 pm
Αιτιολόγηση;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 684
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Δευ Ιουν 24, 2024 4:47 pm

mick7 έγραψε:
Δευ Ιουν 24, 2024 4:33 pm
Κώστα νομίζω το παρακάτω απαντάει στο ερώτημα σου.

https://projecteuclid.org/journals/bull ... 93098.full

stranger έγραψε:
Κυρ Ιουν 23, 2024 7:14 pm
Αιτιολόγηση;
Ναι πράγματι απαντάει.
Ας σκεφτούμε την περίπτωση που θέλουμε να δούμε τι συμβαίνει σε ακεραίους με αρκετά μεγάλη απόλυτη τιμή.
Δηλαδή εννοώ τι συμβαίνει αν αποκλείσουμε πεπερασμένα το πλήθος αντιπαραδείγματα;


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 684
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Δευ Ιουν 24, 2024 5:00 pm

8) Απορρίψετε η αποδείξτε τον ακόλουθο ισχυρισμό.
Κάθε ρητός αριθμός γράφεται ως άθροισμα τριών ρητών κύβων.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Άβαταρ μέλους
abfx
Δημοσιεύσεις: 70
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2022 12:23 pm
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abfx » Παρ Ιουν 28, 2024 1:51 pm

stranger έγραψε:
Δευ Ιουν 24, 2024 4:47 pm
Ας σκεφτούμε την περίπτωση που θέλουμε να δούμε τι συμβαίνει σε ακεραίους με αρκετά μεγάλη απόλυτη τιμή.
Δηλαδή εννοώ τι συμβαίνει αν αποκλείσουμε πεπερασμένα το πλήθος αντιπαραδείγματα;
Έστω ότι a\equiv 6 (mod \text{ } 8) , για κάποιο a>0 . Δείχνουμε ότι ο a δεν γράφεται ως άθροισμα ή διαφορά δύο τέλειων τετραγώνων.

Πράγματι, έχουμε \{ m^2: m\in \mathbb Z_8 \}=\{ \overline 0 , \overline 1 , \overline 4 \} και άρα:

\{ m^2-n^2: m,n\in \mathbb Z_8 \}=\{ \overline 0 , \overline 1 , \overline 3 , \overline 4 , \overline 5 , \overline 7 \} και \{ m^2+n^2: m,n\in \mathbb Z_8 \}=\{ \overline 0 , \overline 1 , \overline 2 , \overline 4 , \overline 5  \} .

Είναι δηλαδή \{ m^2-n^2: m,n\in \mathbb Z_8 \}\cup \{ m^2+n^2: m,n\in \mathbb Z_8 \}=\mathbb Z_8\setminus \{\overline 6\} .

Αν λοιπόν έχουμε a=x^2\pm y^2 , για x,y \in \mathbb Z παίρνουμε άτοπο (mod \text{ } 8) από πάνω.

Άρα, υπάρχουν αυθαίρετα μεγάλα αντιπαραδείγματα (της μορφής 8k+6 ,k \in \mathbb Z^{+}).


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 684
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Ιούλ 12, 2024 12:33 pm

stranger έγραψε:
Δευ Ιουν 24, 2024 5:00 pm
8) Απορρίψετε η αποδείξτε τον ακόλουθο ισχυρισμό.
Κάθε ρητός αριθμός γράφεται ως άθροισμα τριών ρητών κύβων.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 16242
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιούλ 12, 2024 8:26 pm

stranger έγραψε:
Δευ Ιουν 24, 2024 5:00 pm
8) Απορρίψετε η αποδείξτε τον ακόλουθο ισχυρισμό.
Κάθε ρητός αριθμός γράφεται ως άθροισμα τριών ρητών κύβων.
Δεν έγραψα λύση όταν προτάθηκε η άσκηση γιατί γνώριζα ένα επώνυμο θεώρημα που απαντά στο ερώτημα. Τώρα που πέρασε εύλογο διάστημα καταγράφω τα σχετικά στοιχεία.

Η απάντηση στο ερώτημα είναι καταφατική. Ονομάζεται Θεώρημα Ryley και δημοσιεύτηκε το 1825 στο Ladies Diary, τόμος 122, σελίς 35.

Αποδεικνύεται (ελπίζω να έχω αντιγράψει απόλυτα σωστά τις ταυτότητες) ότι για κάθε ρητό q ισχύει o τύπος

\displaystyle{ q= \left ( \dfrac {a^3+bc}{6qda^2} \right ) ^3 +\left ( \dfrac {-a^3+ac}{6qda^2} \right ) ^3  +\left ( \dfrac {-bc}{6qda^2} \right ) ^3  }

όπου \displaystyle{a=q^2+3d^3, \, b= q^2-3d^3, \, c= 36q^2d^3}

Άλλη αναπαράσταση είναι η

\displaystyle{q = \left ( \dfrac {27q^3−r^9}{27q^2r^2+9qr^5+3r^8} \right )^3+\left (\dfrac {−27q^3+9qr^6+r^9}{27q^2r^2+9qr^5+3r^8}  \right )^3+\left  (\dfrac {27q^2r^3+9qr^6}{27q^2r^2+9qr^5+3r^8}\right )^3}

Tου τύπου του Ryley υπάρχει γενίκευση από τον Richmond, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, Volume 2 , Issue 2 , June 1930 , pp. 92 - 100

Στο Wolfram Alpha εδώ υπάρχει επαλήθευση με υπολογιστή του αμέσως παραπάνω τύπου που επιλύει το πρόβλημα που συζητάμε εδώ, για την ειδική περίπτωση r=-1.

Θα ήθελα να ρωτήσω τον θεματοθέτη stranger (Κωνσταντίνο) αν ανέμενε να ανακαλύψουμε τους παραπάνω τύπους ή μήπως έχει κάτι ευκολότερο. Ο ίδιος πάντως για να τους ανακάλυπτα, αν ποτέ κατάφερνα να τους ανακαλύψω, θα ήθελα πολλών ημερών εργασία και άπειρο χαρτί.


sov_arvyd
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 27, 2016 8:26 pm

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sov_arvyd » Παρ Ιούλ 19, 2024 7:01 am

stranger έγραψε:
Σάβ Ιουν 08, 2024 9:33 pm
Πολύ ωραία!
5) Έστω ένα πολυώνυμο P βαθμού n με ακέραιους συντελεστές.
Δείξτε ότι για κάθε k>0, υπάρχουν το πολύ n ακέραιοι t ώστε P(P(...P(P(t))..) = t, όπου στην παράσταση P(P(...P(P(t))..) = t, συνθέτουμε την P, k φορές.
Το ζητούμενο δεν ικανοποιείται για P(x)=x. Μήπως χρειάζεται κάτι ακόμα η εκφώνηση;


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 1257
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Παρ Ιούλ 19, 2024 12:15 pm

9) Δείξτε ότι υπάρχει πρώτος αριθμός p ώστε οι p+1,p+2,...,p+100 να είναι σύνθετοι.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 484
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Παρ Ιούλ 19, 2024 12:27 pm

Για την (9):

Από το θεώρημα του Dirichlet υπάρχει πρώτος p της μορφής (101!)a+1. Για τον πρώτο αριθμό p, είναι άμεσο ότι οι αριθμοί p+1,...,p+100 είναι σύνθετοι.


Κώστας
Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 1257
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Σάβ Ιούλ 20, 2024 1:57 pm

To πρόβλημα το πήρα απο αυτήν την διάλεξη (γύρω στο 40ο λεπτό)

viewtopic.php?f=43&t=75222&p=367854#p367854



ksofsa έγραψε:
Παρ Ιούλ 19, 2024 12:27 pm
Για την (9):

Από το θεώρημα του Dirichlet υπάρχει πρώτος p της μορφής (101!)a+1. Για τον πρώτο αριθμό p, είναι άμεσο ότι οι αριθμοί p+1,...,p+100 είναι σύνθετοι.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 684
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Οκτ 06, 2024 3:18 pm

sov_arvyd έγραψε:
Παρ Ιούλ 19, 2024 7:01 am
stranger έγραψε:
Σάβ Ιουν 08, 2024 9:33 pm
Πολύ ωραία!
5) Έστω ένα πολυώνυμο P βαθμού n με ακέραιους συντελεστές.
Δείξτε ότι για κάθε k>0, υπάρχουν το πολύ n ακέραιοι t ώστε P(P(...P(P(t))..) = t, όπου στην παράσταση P(P(...P(P(t))..) = t, συνθέτουμε την P, k φορές.
Το ζητούμενο δεν ικανοποιείται για P(x)=x. Μήπως χρειάζεται κάτι ακόμα η εκφώνηση;
Τώρα το είδα το μήνυμα. Είχα να μπω καιρό. Ναι είναι n>1.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 684
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Οκτ 06, 2024 3:30 pm

Μια που μου αρέσει πολύ.
10)
Έστω a,b φυσικοί αριθμοί σχετικά πρώτοι και έστω m ένας φυσικός αριθμός.
Δείξτε ότι η αριθμητική πρόοδος an+b περιέχει άπειρους αριθμούς σχετικά πρώτους με το m.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 16242
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Οκτ 06, 2024 4:56 pm

stranger έγραψε:
Κυρ Οκτ 06, 2024 3:30 pm
10)
Έστω a,b φυσικοί αριθμοί σχετικά πρώτοι και έστω m ένας φυσικός αριθμός.
Δείξτε ότι η αριθμητική πρόοδος an+b περιέχει άπειρους αριθμούς σχετικά πρώτους με το m.
Με βαρύ πυροβολικό είναι άμεσο: Από το Θεώρημα Diriclet (βλέπε εδώ η ακολουθία (an+b) περιέχει άπειρους το πλήθος πρώτους. Όσοι από αυτούς (άπειροι) είναι μεγαλύτεροι του m, κάνουν την δουλειά.

Κωνσταντίνε, σου κάνει αυτό; Νομίζω πάντως ότι έχω και στοιχειώδη λύση της άσκησης που θέτεις. Αν θεωρείς το παραπάνω ως "βαρυοπούλα για να σπάσουμε ρολόι", θα το ξαναδώ.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 684
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Οκτ 06, 2024 4:58 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Οκτ 06, 2024 4:56 pm
stranger έγραψε:
Κυρ Οκτ 06, 2024 3:30 pm
10)
Έστω a,b φυσικοί αριθμοί σχετικά πρώτοι και έστω m ένας φυσικός αριθμός.
Δείξτε ότι η αριθμητική πρόοδος an+b περιέχει άπειρους αριθμούς σχετικά πρώτους με το m.
Με βαρύ πυροβολικό είναι άμεσο: Από το Θεώρημα Diriclet (βλέπε εδώ η ακολουθία (an+b) περιέχει άπειρους το πλήθος πρώτους. Όσοι από αυτούς (άπειροι) είναι μεγαλύτεροι του m, κάνουν την δουλειά.

Κωνσταντίνε, σου κάνει αυτό; Νομίζω πάντως ότι έχω και στοιχειώδη λύση της άσκησης που θέτεις. Αν θεωρείς το παραπάνω ως "βαρυοπούλα για να σπάσουμε ρολόι", θα το ξαναδώ.
Μιχάλη από το θεώρημα του Dirichlet είναι άμεσο. Εννοώ με στοιχειώδη μέσα.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 16242
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Οκτ 06, 2024 6:57 pm

stranger έγραψε:
Κυρ Οκτ 06, 2024 4:58 pm
Εννοώ με στοιχειώδη μέσα.
Ωραία. Θα γράψω αργότερα μία απλή και στοιχειώδη λύση, κατανοητή σε μαθητές.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 684
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Οκτ 09, 2024 5:30 pm

Μια λίγο δύσκολη.
11)
Να λυθεί η διοφαντική εξίσωση y^2 = x^3 + (x+4)^2


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης