https://projecteuclid.org/journals/bull ... 93098.full
Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Συντονιστής: nkatsipis
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Κώστα νομίζω το παρακάτω απαντάει στο ερώτημα σου.
https://projecteuclid.org/journals/bull ... 93098.full
https://projecteuclid.org/journals/bull ... 93098.full
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Ναι πράγματι απαντάει.mick7 έγραψε: ↑Δευ Ιουν 24, 2024 4:33 pmΚώστα νομίζω το παρακάτω απαντάει στο ερώτημα σου.
https://projecteuclid.org/journals/bull ... 93098.full
Ας σκεφτούμε την περίπτωση που θέλουμε να δούμε τι συμβαίνει σε ακεραίους με αρκετά μεγάλη απόλυτη τιμή.
Δηλαδή εννοώ τι συμβαίνει αν αποκλείσουμε πεπερασμένα το πλήθος αντιπαραδείγματα;
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
8) Απορρίψετε η αποδείξτε τον ακόλουθο ισχυρισμό.
Κάθε ρητός αριθμός γράφεται ως άθροισμα τριών ρητών κύβων.
Κάθε ρητός αριθμός γράφεται ως άθροισμα τριών ρητών κύβων.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Έστω ότι , για κάποιο . Δείχνουμε ότι ο δεν γράφεται ως άθροισμα ή διαφορά δύο τέλειων τετραγώνων.
Πράγματι, έχουμε και άρα:
και .
Είναι δηλαδή .
Αν λοιπόν έχουμε , για παίρνουμε άτοπο από πάνω.
Άρα, υπάρχουν αυθαίρετα μεγάλα αντιπαραδείγματα (της μορφής ).
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 16242
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Δεν έγραψα λύση όταν προτάθηκε η άσκηση γιατί γνώριζα ένα επώνυμο θεώρημα που απαντά στο ερώτημα. Τώρα που πέρασε εύλογο διάστημα καταγράφω τα σχετικά στοιχεία.
Η απάντηση στο ερώτημα είναι καταφατική. Ονομάζεται Θεώρημα Ryley και δημοσιεύτηκε το 1825 στο Ladies Diary, τόμος 122, σελίς 35.
Αποδεικνύεται (ελπίζω να έχω αντιγράψει απόλυτα σωστά τις ταυτότητες) ότι για κάθε ρητό ισχύει o τύπος
όπου
Άλλη αναπαράσταση είναι η
Tου τύπου του Ryley υπάρχει γενίκευση από τον Richmond, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, Volume 2 , Issue 2 , June 1930 , pp. 92 - 100
Στο Wolfram Alpha εδώ υπάρχει επαλήθευση με υπολογιστή του αμέσως παραπάνω τύπου που επιλύει το πρόβλημα που συζητάμε εδώ, για την ειδική περίπτωση .
Θα ήθελα να ρωτήσω τον θεματοθέτη stranger (Κωνσταντίνο) αν ανέμενε να ανακαλύψουμε τους παραπάνω τύπους ή μήπως έχει κάτι ευκολότερο. Ο ίδιος πάντως για να τους ανακάλυπτα, αν ποτέ κατάφερνα να τους ανακαλύψω, θα ήθελα πολλών ημερών εργασία και άπειρο χαρτί.
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Το ζητούμενο δεν ικανοποιείται για . Μήπως χρειάζεται κάτι ακόμα η εκφώνηση;
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Για την (9):
Από το θεώρημα του Dirichlet υπάρχει πρώτος της μορφής . Για τον πρώτο αριθμό , είναι άμεσο ότι οι αριθμοί είναι σύνθετοι.
Από το θεώρημα του Dirichlet υπάρχει πρώτος της μορφής . Για τον πρώτο αριθμό , είναι άμεσο ότι οι αριθμοί είναι σύνθετοι.
Κώστας
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
To πρόβλημα το πήρα απο αυτήν την διάλεξη (γύρω στο 40ο λεπτό)
viewtopic.php?f=43&t=75222&p=367854#p367854
viewtopic.php?f=43&t=75222&p=367854#p367854
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Τώρα το είδα το μήνυμα. Είχα να μπω καιρό. Ναι είναι .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Μια που μου αρέσει πολύ.
10)
Έστω φυσικοί αριθμοί σχετικά πρώτοι και έστω ένας φυσικός αριθμός.
Δείξτε ότι η αριθμητική πρόοδος περιέχει άπειρους αριθμούς σχετικά πρώτους με το .
10)
Έστω φυσικοί αριθμοί σχετικά πρώτοι και έστω ένας φυσικός αριθμός.
Δείξτε ότι η αριθμητική πρόοδος περιέχει άπειρους αριθμούς σχετικά πρώτους με το .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 16242
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Με βαρύ πυροβολικό είναι άμεσο: Από το Θεώρημα Diriclet (βλέπε εδώ η ακολουθία περιέχει άπειρους το πλήθος πρώτους. Όσοι από αυτούς (άπειροι) είναι μεγαλύτεροι του , κάνουν την δουλειά.
Κωνσταντίνε, σου κάνει αυτό; Νομίζω πάντως ότι έχω και στοιχειώδη λύση της άσκησης που θέτεις. Αν θεωρείς το παραπάνω ως "βαρυοπούλα για να σπάσουμε ρολόι", θα το ξαναδώ.
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Μιχάλη από το θεώρημα του Dirichlet είναι άμεσο. Εννοώ με στοιχειώδη μέσα.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 06, 2024 4:56 pmΜε βαρύ πυροβολικό είναι άμεσο: Από το Θεώρημα Diriclet (βλέπε εδώ η ακολουθία περιέχει άπειρους το πλήθος πρώτους. Όσοι από αυτούς (άπειροι) είναι μεγαλύτεροι του , κάνουν την δουλειά.
Κωνσταντίνε, σου κάνει αυτό; Νομίζω πάντως ότι έχω και στοιχειώδη λύση της άσκησης που θέτεις. Αν θεωρείς το παραπάνω ως "βαρυοπούλα για να σπάσουμε ρολόι", θα το ξαναδώ.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 16242
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Ωραία. Θα γράψω αργότερα μία απλή και στοιχειώδη λύση, κατανοητή σε μαθητές.
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Μια λίγο δύσκολη.
11)
Να λυθεί η διοφαντική εξίσωση
11)
Να λυθεί η διοφαντική εξίσωση
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης