Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Συντονιστής: nkatsipis
-
- Δημοσιεύσεις: 108
- Εγγραφή: Δευ Νοέμ 06, 2023 6:01 pm
- Τοποθεσία: Ρόδος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Δεν έχω κάνει εξάσκηση στην επίλυση διοφαντικών εξισώσεων. Παρόλα αυτά έκανα μια ανεπιτυχής προσπάθεια με εκτεταμένη χρήση υπολογιστή, δίχως να επιδιώξω να προσεγγίσω, ήδη υπάρχουσες επίσημες λύσεις.
Θέτοντας, , οπότε από την αρχική εξίσωση παίρνουμε την παρακάτω:
, προφανώς το πρέπει να είναι περιττός.
Θέτοντας, , μετά από τις πράξεις καταλήγουμε ότι:
, Triangular Mersenne numbers
,
Έστω, η συνάρτηση να επιστρέφει το πλήθος των ψηφίων της δυαδικής αναπαράστασης της εισόδου.
Θέτοντας, , οπότε από την αρχική εξίσωση παίρνουμε την παρακάτω:
, προφανώς το πρέπει να είναι περιττός.
Θέτοντας, , μετά από τις πράξεις καταλήγουμε ότι:
, Triangular Mersenne numbers
,
Έστω, η συνάρτηση να επιστρέφει το πλήθος των ψηφίων της δυαδικής αναπαράστασης της εισόδου.
- Αν είναι άρτιος, τότε , οπότε .
Θέτω,
Επιλύοντας τα συστήματα κάθε περίπτωσης, γίνεται να αποτιμηθεί ο αριθμός .- Αν είναι άρτιος, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε , οπότε .
Θέτω,
Επιλύοντας τα συστήματα κάθε περίπτωσης, γίνεται να αποτιμηθεί ο αριθμός .- Αν είναι άρτιος, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε
-
- Δημοσιεύσεις: 108
- Εγγραφή: Δευ Νοέμ 06, 2023 6:01 pm
- Τοποθεσία: Ρόδος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Χαίρετε,
Έχοντας φτάσει ως το παρακάτω σημείο, υπάρχει κάποιος τρόπος να συνεχίστεί ο υπολογισμός όλων των δυαδικών ψηφίων του αριθμού έτσι, ώστε να λάβουμε την μορφή που θα έχει ο αριθμός σε κάθε περίπτωση;
Έχοντας φτάσει ως το παρακάτω σημείο, υπάρχει κάποιος τρόπος να συνεχίστεί ο υπολογισμός όλων των δυαδικών ψηφίων του αριθμού έτσι, ώστε να λάβουμε την μορφή που θα έχει ο αριθμός σε κάθε περίπτωση;
Nikitas K. έγραψε: ↑Δευ Απρ 22, 2024 4:00 pm,
Έστω, η συνάρτηση να επιστρέφει το πλήθος των ψηφίων της δυαδικής αναπαράστασης της εισόδου.
- Αν είναι άρτιος, τότε , οπότε .
Θέτω,
Επιλύοντας τα συστήματα κάθε περίπτωσης, γίνεται να αποτιμηθεί ο αριθμός .
- Αν είναι άρτιος, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε , οπότε .
Θέτω,
Επιλύοντας τα συστήματα κάθε περίπτωσης, γίνεται να αποτιμηθεί ο αριθμός .
- Αν είναι άρτιος, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε
Νικήτας Κακούλλης
«Μέτρον ἄριστον» Κλεόβουλος Εὐαγόρου Λίνδιος
«Μέτρον ἄριστον» Κλεόβουλος Εὐαγόρου Λίνδιος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Δεν είμαι σίγουρος ότι βγαίνει έτσι αυτή η διοφαντική.Nikitas K. έγραψε: ↑Σάβ Απρ 27, 2024 12:07 pmΧαίρετε,
Έχοντας φτάσει ως το παρακάτω σημείο, υπάρχει κάποιος τρόπος να συνεχίστεί ο υπολογισμός όλων των δυαδικών ψηφίων του αριθμού έτσι, ώστε να λάβουμε την μορφή που θα έχει ο αριθμός σε κάθε περίπτωση;
Nikitas K. έγραψε: ↑Δευ Απρ 22, 2024 4:00 pm,
Έστω, η συνάρτηση να επιστρέφει το πλήθος των ψηφίων της δυαδικής αναπαράστασης της εισόδου.
- Αν είναι άρτιος, τότε , οπότε .
Θέτω,
Επιλύοντας τα συστήματα κάθε περίπτωσης, γίνεται να αποτιμηθεί ο αριθμός .
- Αν είναι άρτιος, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε , οπότε .
Θέτω,
Επιλύοντας τα συστήματα κάθε περίπτωσης, γίνεται να αποτιμηθεί ο αριθμός .
- Αν είναι άρτιος, τότε
- Αν είναι περιττός, τότε
Η λύση που έχω κατά νου περνάει μέσα από αλγεβρική θεωρία αριθμών.
Θα βάλω τη λύση αύριο αν δεν υπάρξει κάποια άλλη λύση.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Ας γράψω τι σκέφτηκα, αλλα δεν έχω και πολύ χρόνο να το αναλύσω, το αφήνω ως ιδέα μήπως προχωρήσει κάπως.
Αρχικά, για άρτιο είναι σχετικά απλό (διαφορά τετραγώνων).
Τώρα, για περιττό έχουμε:
Τώρα, αυτό θυμίζει γενικευμένη Pell (d=2, N=-7).
Αν θέλουμε , τότε απλά τη γράφουμε στη μορφή:
, σαφώς με τις κατάλληλες υποθέσεις.
Έχουμε: , μία ας τη θεωρήσουμε πρωταρχική λύση των εξισώσεων .
Ακόμη, η εξίσωση έχει λύση
Τώρα για την
Οπότε γενικά θα πάρουμε . Μάλλον λίγο ζόρι να βρούμε πρωταρχική λύση εδώ για να πάρουμε μετά τον αναδρομικό αλγόριθμο.
Μια άλλη ιδέα θα ήταν:
.
Γενικά το είναι UFD, το παραπάνω βέβαια είναι στο , και δεν είμαι σίγουρος αν μπορούμε να δουλέψουμε ανάλογα (το 7 μάλιστα δεν είναι πρώτος σε αυτό τον δακτύλιο). Έχω την εντύπωση πως ο τελευταίος δακτύλιος είναι UFD, αν ισχύουν αυτά μπορώ να προχωρήσω σε λύση, αλλιώς μάλλον πρέπει να αλλάξουμε προσέγγιση.
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
2)
Έστω , όπου , ώστε .
Δείξτε ότι υπάρχουν ώστε .
Έστω , όπου , ώστε .
Δείξτε ότι υπάρχουν ώστε .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
3)
Δείξτε ότι για κάθε ακέραιο και κάθε πρώτο , ισχύει ότι ο δεν διαιρεί τον .
Δείξτε ότι για κάθε ακέραιο και κάθε πρώτο , ισχύει ότι ο δεν διαιρεί τον .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 77
- Εγγραφή: Πέμ Σεπ 14, 2017 5:59 pm
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Έστω, προς άτοπο, ότι . Τότε (αφού ) άρα .
Συνεπώς, χρησιμοποιώντας τη μοναδική ανάλυση του σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, έχουμε ότι .
Άρα , και αφού , θα είναι , άτοπο.
-
- Δημοσιεύσεις: 77
- Εγγραφή: Πέμ Σεπ 14, 2017 5:59 pm
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Έστω το σύνολο των περιττών που περιέχονται στο . Από το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής είναι άμεσο ότι κάθε στοιχείο γράφεται με μοναδικό τρόπο ως όπου και . Ορίζουμε με .
Είναι άρα . Όμως άρα η δεν είναι , δηλαδή υπάρχουν έτσι ώστε . Αν , τότε , ενώ αν , τότε .
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Πολύ όμορφη λύση.giannispapav έγραψε: ↑Πέμ Μάιος 30, 2024 12:06 amΈστω το σύνολο των περιττών που περιέχονται στο . Από το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής είναι άμεσο ότι κάθε στοιχείο γράφεται με μοναδικό τρόπο ως όπου και . Ορίζουμε με .
Είναι άρα . Όμως άρα η δεν είναι , δηλαδή υπάρχουν έτσι ώστε . Αν , τότε , ενώ αν , τότε .
Συγχαρητήρια!
edit: Προφανώς εννοώ στην εκφώνηση, το οποίο καλύπτεται από την συγκεκριμένη λύση.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
4) Βρείτε όλα τα ώστε να υπάρχουν διαδοχικοί ακέραιοι με άθροισμα τετραγώνων πρώτο αριθμό.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Ο εύκολα δεν ικανοποιεί την . Έστω τώρα ότι ο (σε πρωτογενή παραγοντοποίηση) την ικανοποιεί.
Θα δείξουμε ότι και ότι . Πράγματι, υποθέτουμε πρώτα ότι , όπου πρώτος.
Για έχουμε:
αφού διαδοχικοί ακέραιοι αποτελούν πλήρες σύστημα υπολοίπων .
Όμως, και οπότε .
Άρα
οπότε, αφού (εύκολος έλεγχος), η δεν ικανοποιείται.
Έπειτα, αν , τότε:
οπότε όμοια με πάνω σύνθετος.
Τέλος, αν , τότε άρτιος μεγαλύτερος του οπότε σύνθετος.
Μένουν λοιπόν οι περιπτώσεις που είναι όλες δεκτές:
- πρώτος
- πρώτος
- πρώτος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 16307
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Ωραιότατη η προηγούμενη λύση, αλλά ας δούμε μια τελείως στοιχειώδη και απλή:
Για μικρά , ακριβέστερα , έχουμε με το χέρι τις εκδοχές α) διότι πρώτος, β) διότι πρώτος και γ) διότι πρώτος. Οι και αποκλείονται διότι
για οποιοδήποτε έχουμε ίσον άρτιος ως άθροισμα δύο άρτιων και δύο περιττών άρα απορρίπτεται και όμοια ίσον σύνθετος, άρα απορρίπτεται.
Θα δούμε ότι δεν υπάρχουν άλλες εκδοχές για το περαν από τις προηγούμενες.
Μπορούμε λοιπόν να θεωρήσουμε ότι το είναι της μορφής ή ή ή ή ή με (το πρώτο για ). Τα εξετάζουμε χωριστά αφού πρώτα παρατηρήσουμε ότι το άθροισμα που εξετάζουμε γράφεται
- Aν τότε το δεξί μέλος της ισούται που είναι σύνθετος, οπότε αυτή η περίπτωση απορρίπτεται.
- Aν τότε το δεξί μέλος της ισούται που είναι σύνθετος, οπότε αυτή η περίπτωση απορρίπτεται.
- Aν τότε το δεξί μέλος της ισούται
που είναι σύνθετος, οπότε αυτή η περίπτωση απορρίπτεται.
- Aν τότε το δεξί μέλος της ισούται που είναι σύνθετος, οπότε αυτή η περίπτωση απορρίπτεται.
- Aν τότε το δεξί μέλος της ισούται που είναι σύνθετος, οπότε αυτή η περίπτωση απορρίπτεται.
- Aν τότε το δεξί μέλος της ισούται που είναι σύνθετος, οπότε αυτή η περίπτωση απορρίπτεται.
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Πολύ ωραία!
5) Έστω ένα πολυώνυμο βαθμού με ακέραιους συντελεστές.
Δείξτε ότι για κάθε , υπάρχουν το πολύ ακέραιοι ώστε , όπου στην παράσταση , συνθέτουμε την , φορές.
5) Έστω ένα πολυώνυμο βαθμού με ακέραιους συντελεστές.
Δείξτε ότι για κάθε , υπάρχουν το πολύ ακέραιοι ώστε , όπου στην παράσταση , συνθέτουμε την , φορές.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
6) Δείξτε ότι κάθε ακέραιος γράφεται στη μορφή για κάποιους ακέραιους .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
Ωραία! Μπορεί να βελτιωθεί αυτό;
Γράφεται κάθε ακέραιος στη μορφή ;
Αν όχι, γράφεται κάθε αρκετά μεγάλος ακέραιος(σε απόλυτη τιμή) στην μορφή ;
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
7) Λύστε (ως προς ) στους ακεραίους το σύστημα , .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης