mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 22, 2023 11:18 pm**

Ελπίζω να έκανα την ερώτηση στο σωστό μέρος

Για $s\in \mathbb{C},\Re(s)>1$ , θεωρήστε:
$\displaystyle{\prod_{k=1}^{\infty}\prod_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1-n^{-ks}}= \prod_{k=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty}\frac{\rho(m)}{m^{ks}}=\prod_{n=2}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{p(j)}{n^{js}} }$

Όπου $\rho(m)$ είναι η συνάρτηση διαχωρισμού πολλαπλασιασμού [1] του αριθμού

. Και

είναι η συνάρτηση διαχωρισμού προσθήκης [2] του αριθμού

. Βάσει της εξίσωσης :
$\displaystyle{\prod_{k=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty}\frac{\rho(m)}{m^{ks}}=\prod_{n=2}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{p(j)}{n^{js}} }$

Ποια αριθμητική σχέση(εις) μπορεί να σχεδιαστεί μεταξύ των $\rho(m)$ και p(j)

; Για παράδειγμα, πώς μπορούμε να γράψουμε το $\rho(m)$ σε όρους του p(j)

;

[1]: [https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_partition](https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_partition)
[2]: [https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory](https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory))

mathematica.gr

θεωρία αριθμών

θεωρία αριθμών