Απόδειξη

jim50 · #1

Πως μπορώ να δείξω ότι αν επιλεγούν n+1

ακέραιοι από το σύνολο $\left \{ 0,1,2,...,2n \right \}$
, n>1

,ότι ένας από αυτούς τουλάχιστον είναι περιττός ;

Lymperis Karras · #2

jim50 έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 23, 2021 1:24 pm
Πως μπορώ να δείξω ότι αν επιλεγούν ακέραιοι από το σύνολο $\left \{ 0,1,2,...,2n \right \}$
, ,ότι ένας από αυτούς τουλάχιστον είναι περιττός ;

Σκέψου το πλήθος των στοιχείων του συνόλου, και μετά το πλήθος των άρτιων και των περιττών. Αν πάρεις n+1

αριθμούς, τι συμβαίνει?
Επίσης, νομίζω πως εννοείς το σύνολο $\mathbb{N}^{+}$ , γιατί αλλιώς δεν ισχύει.
Ελπίζω να βοήθησα

stranger · #3

jim50 έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 23, 2021 1:24 pm
Πως μπορώ να δείξω ότι αν επιλεγούν ακέραιοι από το σύνολο $\left \{ 0,1,2,...,2n \right \}$
, ,ότι ένας από αυτούς τουλάχιστον είναι περιττός ;

Ουσιαστικά είναι μια εφαρμογή της αρχής του Περιστερώνα.

stranger · #4

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 23, 2021 4:36 pm

jim50 έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 23, 2021 1:24 pm
Πως μπορώ να δείξω ότι αν επιλεγούν ακέραιοι από το σύνολο $\left \{ 0,1,2,...,2n \right \}$
, ,ότι ένας από αυτούς τουλάχιστον είναι περιττός ;
Ουσιαστικά είναι μια εφαρμογή της αρχής του Περιστερώνα.

Μια διατύπωση της αρχής του Περιστερώνα είναι η εξής:
Αν n+1

περιστέρια ζουν σε

φωλιές τότε υπάρχει τουλάχιστον μια φωλιά που περιέχει τουλάχιστον δυο περιστέρια.
Η συγκεκριμένη διατύπωση δείχνει το προφανές του επιχειρήματος.
Μια άλλη διατύση που είναι πιο μαθηματική είναι η εξής:
Αν έχουμε ένα πεπερασμένο σύνολο

και μια συνάρτηση $f:A \rightarrow A$ η οποία είναι 1-1 τότε είναι και επί του

.
Ουσιαστικά και οι δύο διατυπώσεις είναι η ίδια ακριβώς ιδέα.

#5

jim50 έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 23, 2021 1:24 pm
Πως μπορώ να δείξω ότι αν επιλεγούν ακέραιοι από το σύνολο $\left \{ 0,1,2,...,2n \right \}$
, ,ότι ένας από αυτούς τουλάχιστον είναι περιττός ;

Χάνω κάτι;

Βλέπω ότι η άσκηση είναι λάθος και σίγουρα όχι επιπέδου Θεωρίας Αριθμών Α.Ε.Ι. όπου τοποθετήθηκε. Επιπλέον δεν χρειάζεται
η αρχή του Περιστερώνα για να λυθεί. Ιδού, χωρίς να κάνουμε τα εύκολα δύσκολα:

Όι n+1

το πλήθος αριθμοί $2\cdot 0, \, 2\cdot 1, \, ... \, 2\cdot n$ είναι όλοι άρτιοι. Δεν υπάρχει μεταξύ τους περιττός.

Για παράδειγμα αν n=2

, το δοθέν σύνολο είναι το $\left \{ 0,1,2,3,4 \right \}$ , ενώ οι 2+1=3

αριθμοί $\left \{ 0,2,4 \right \}$ είναι όλοι άρτιοι.

Lymperis Karras · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 24, 2021 9:51 pm

jim50 έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 23, 2021 1:24 pm
Πως μπορώ να δείξω ότι αν επιλεγούν ακέραιοι από το σύνολο $\left \{ 0,1,2,...,2n \right \}$
, ,ότι ένας από αυτούς τουλάχιστον είναι περιττός ;
Χάνω κάτι;

Βλέπω ότι η άσκηση είναι λάθος

Νομίζω πως ο φίλος μας εννοεί τους φυσικούς διάφορους του 0, και τότε η απόδειξη είναι απλή με αρχή περιστερώνα.

#7

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 24, 2021 10:20 pm

Νομίζω πως ο φίλος μας εννοεί τους φυσικούς διάφορους του 0, και τότε η απόδειξη είναι απλή με αρχή περιστερώνα.

Δεν νομίζω ότι εννοεί κάτι άλλο από αυτό που γράφει! Αλλά και έτσι αν είναι, η άσκηση είναι τετριμμένη χωρίς να χρειάζεται περιστερώνας. Δεν χρειάζεται να κάνουμε τα εύκολα δύσκολα. Ιδού λύση χωρίς περιστερώνα.

Το σύνολο $\{0,1,2,...,2n\}$ έχει ακριβώς

μη μηδενικούς άρτιους, τους $2\cdot 1, 2\cdot 2,..., 2\cdot n$ . Συνεπώς αν μου δώσεις n+1

αριθμούς από το σύνολο, δεν μπορεί να είναι όλοι άρτιοι (αφού οι άρτιοι είναι λιγότεροι). Άρα κάποιος δεν είναι άρτιος.

stranger · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 25, 2021 12:41 am

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 24, 2021 10:20 pm

Νομίζω πως ο φίλος μας εννοεί τους φυσικούς διάφορους του 0, και τότε η απόδειξη είναι απλή με αρχή περιστερώνα.
Δεν νομίζω ότι εννοεί κάτι άλλο από αυτό που γράφει! Αλλά και έτσι αν είναι, η άσκηση είναι τετριμμένη χωρίς να χρειάζεται περιστερώνας. Δεν χρειάζεται να κάνουμε τα εύκολα δύσκολα. Ιδού λύση χωρίς περιστερώνα.

Το σύνολο $\{0,1,2,...,2n\}$ έχει ακριβώς μη μηδενικούς άρτιους, τους $2\cdot 1, 2\cdot 2,..., 2\cdot n$ . Συνεπώς αν μου δώσεις αριθμούς από το σύνολο, δεν μπορεί να είναι όλοι άρτιοι (αφού οι άρτιοι είναι λιγότεροι). Άρα κάποιος δεν είναι άρτιος.

Και η αρχή του περιστερώνα τετριμμένη είναι..Είναι η ίδια λογική με αυτό που γράψατε..
Τέλοσπάντων, νομίζω ότι δεν αξίζει μεγάλη συζήτηση αυτή η άσκηση.

Απόδειξη

Απόδειξη

Re: Απόδειξη

Re: Απόδειξη

Re: Απόδειξη

Re: Απόδειξη

Re: Απόδειξη

Re: Απόδειξη

Re: Απόδειξη

Μέλη σε σύνδεση