Απόδειξη

Συντονιστής: nkatsipis

jim50
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2021 8:37 pm

Απόδειξη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από jim50 » Κυρ Μάιος 23, 2021 1:24 pm

Πως μπορώ να δείξω ότι αν επιλεγούν n+1 ακέραιοι από το σύνολο \left \{ 0,1,2,...,2n \right \}
, n>1,ότι ένας από αυτούς τουλάχιστον είναι περιττός ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Lymperis Karras
Δημοσιεύσεις: 121
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm

Re: Απόδειξη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Lymperis Karras » Κυρ Μάιος 23, 2021 1:32 pm

jim50 έγραψε:
Κυρ Μάιος 23, 2021 1:24 pm
Πως μπορώ να δείξω ότι αν επιλεγούν n+1 ακέραιοι από το σύνολο \left \{ 0,1,2,...,2n \right \}
, n>1,ότι ένας από αυτούς τουλάχιστον είναι περιττός ;
Σκέψου το πλήθος των στοιχείων του συνόλου, και μετά το πλήθος των άρτιων και των περιττών. Αν πάρεις n+1 αριθμούς, τι συμβαίνει?
Επίσης, νομίζω πως εννοείς το σύνολο \mathbb{N}^{+}, γιατί αλλιώς δεν ισχύει.
Ελπίζω να βοήθησα


Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 414
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Απόδειξη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Μάιος 23, 2021 4:36 pm

jim50 έγραψε:
Κυρ Μάιος 23, 2021 1:24 pm
Πως μπορώ να δείξω ότι αν επιλεγούν n+1 ακέραιοι από το σύνολο \left \{ 0,1,2,...,2n \right \}
, n>1,ότι ένας από αυτούς τουλάχιστον είναι περιττός ;
Ουσιαστικά είναι μια εφαρμογή της αρχής του Περιστερώνα.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 414
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Απόδειξη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Δευ Μάιος 24, 2021 2:51 pm

stranger έγραψε:
Κυρ Μάιος 23, 2021 4:36 pm
jim50 έγραψε:
Κυρ Μάιος 23, 2021 1:24 pm
Πως μπορώ να δείξω ότι αν επιλεγούν n+1 ακέραιοι από το σύνολο \left \{ 0,1,2,...,2n \right \}
, n>1,ότι ένας από αυτούς τουλάχιστον είναι περιττός ;
Ουσιαστικά είναι μια εφαρμογή της αρχής του Περιστερώνα.
Μια διατύπωση της αρχής του Περιστερώνα είναι η εξής:
Αν n+1 περιστέρια ζουν σε n φωλιές τότε υπάρχει τουλάχιστον μια φωλιά που περιέχει τουλάχιστον δυο περιστέρια.
Η συγκεκριμένη διατύπωση δείχνει το προφανές του επιχειρήματος.
Μια άλλη διατύση που είναι πιο μαθηματική είναι η εξής:
Αν έχουμε ένα πεπερασμένο σύνολο A και μια συνάρτηση f:A \rightarrow A η οποία είναι 1-1 τότε είναι και επί του A.
Ουσιαστικά και οι δύο διατυπώσεις είναι η ίδια ακριβώς ιδέα.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13501
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Απόδειξη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μάιος 24, 2021 9:51 pm

jim50 έγραψε:
Κυρ Μάιος 23, 2021 1:24 pm
Πως μπορώ να δείξω ότι αν επιλεγούν n+1 ακέραιοι από το σύνολο \left \{ 0,1,2,...,2n \right \}
, n>1,ότι ένας από αυτούς τουλάχιστον είναι περιττός ;
Χάνω κάτι;

Βλέπω ότι η άσκηση είναι λάθος και σίγουρα όχι επιπέδου Θεωρίας Αριθμών Α.Ε.Ι. όπου τοποθετήθηκε. Επιπλέον δεν χρειάζεται
η αρχή του Περιστερώνα για να λυθεί. Ιδού, χωρίς να κάνουμε τα εύκολα δύσκολα:

Όι n+1 το πλήθος αριθμοί 2\cdot 0, \, 2\cdot 1, \, ... \, 2\cdot n είναι όλοι άρτιοι. Δεν υπάρχει μεταξύ τους περιττός.

Για παράδειγμα αν n=2, το δοθέν σύνολο είναι το \left \{ 0,1,2,3,4 \right \}, ενώ οι 2+1=3 αριθμοί \left \{ 0,2,4 \right \} είναι όλοι άρτιοι.


Άβαταρ μέλους
Lymperis Karras
Δημοσιεύσεις: 121
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm

Re: Απόδειξη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Lymperis Karras » Δευ Μάιος 24, 2021 10:20 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Μάιος 24, 2021 9:51 pm
jim50 έγραψε:
Κυρ Μάιος 23, 2021 1:24 pm
Πως μπορώ να δείξω ότι αν επιλεγούν n+1 ακέραιοι από το σύνολο \left \{ 0,1,2,...,2n \right \}
, n>1,ότι ένας από αυτούς τουλάχιστον είναι περιττός ;
Χάνω κάτι;

Βλέπω ότι η άσκηση είναι λάθος

Νομίζω πως ο φίλος μας εννοεί τους φυσικούς διάφορους του 0, και τότε η απόδειξη είναι απλή με αρχή περιστερώνα.


Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13501
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Απόδειξη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 25, 2021 12:41 am

Lymperis Karras έγραψε:
Δευ Μάιος 24, 2021 10:20 pm

Νομίζω πως ο φίλος μας εννοεί τους φυσικούς διάφορους του 0, και τότε η απόδειξη είναι απλή με αρχή περιστερώνα.
Δεν νομίζω ότι εννοεί κάτι άλλο από αυτό που γράφει! Αλλά και έτσι αν είναι, η άσκηση είναι τετριμμένη χωρίς να χρειάζεται περιστερώνας. Δεν χρειάζεται να κάνουμε τα εύκολα δύσκολα. Ιδού λύση χωρίς περιστερώνα.

Το σύνολο \{0,1,2,...,2n\} έχει ακριβώς n μη μηδενικούς άρτιους, τους 2\cdot 1, 2\cdot 2,..., 2\cdot n . Συνεπώς αν μου δώσεις n+1 αριθμούς από το σύνολο, δεν μπορεί να είναι όλοι άρτιοι (αφού οι άρτιοι είναι λιγότεροι). Άρα κάποιος δεν είναι άρτιος.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 414
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Απόδειξη

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τρί Μάιος 25, 2021 1:12 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Μάιος 25, 2021 12:41 am
Lymperis Karras έγραψε:
Δευ Μάιος 24, 2021 10:20 pm

Νομίζω πως ο φίλος μας εννοεί τους φυσικούς διάφορους του 0, και τότε η απόδειξη είναι απλή με αρχή περιστερώνα.
Δεν νομίζω ότι εννοεί κάτι άλλο από αυτό που γράφει! Αλλά και έτσι αν είναι, η άσκηση είναι τετριμμένη χωρίς να χρειάζεται περιστερώνας. Δεν χρειάζεται να κάνουμε τα εύκολα δύσκολα. Ιδού λύση χωρίς περιστερώνα.

Το σύνολο \{0,1,2,...,2n\} έχει ακριβώς n μη μηδενικούς άρτιους, τους 2\cdot 1, 2\cdot 2,..., 2\cdot n . Συνεπώς αν μου δώσεις n+1 αριθμούς από το σύνολο, δεν μπορεί να είναι όλοι άρτιοι (αφού οι άρτιοι είναι λιγότεροι). Άρα κάποιος δεν είναι άρτιος.
Και η αρχή του περιστερώνα τετριμμένη είναι..Είναι η ίδια λογική με αυτό που γράψατε..
Τέλοσπάντων, νομίζω ότι δεν αξίζει μεγάλη συζήτηση αυτή η άσκηση.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης