Ψηφιακή ρίζα
Συντονιστής: nkatsipis
Ψηφιακή ρίζα
Να αποδείξετε ότι η ψηφιακή ρίζα του αριθμού είναι το .
Τροποποίησα την εκφώνηση.
Τροποποίησα την εκφώνηση.
τελευταία επεξεργασία από User#0000 σε Τετ Μαρ 10, 2021 4:15 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα ψηφίων
Μάλλον χάνω κάτι. Δοκίμασες για να δεις αν αληθεύει; Για να μην πω αν δοκίμασες τον . Μάλλον κάτι άλλο θα θέλεις να ρωτήσεις.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Παρ Μαρ 05, 2021 7:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Άθροισμα ψηφίων
Ναι, έχετε δίκιο σας ζητώ συγγνώμη για την ταλαιπωρία, εκεί που «πραγματικά» έχω απορία είναι το εξής:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Μαρ 05, 2021 6:31 pmΜάλλον χάνω κάτι. Δοκίμασες για να δεις αν αληθεύει; Για να μην πω αν δοκίμασες τον . Μάλλον κάτι άλλο θα θέλεις να ρωτήσεις.
Να δείξετε ότι το επαναλαμβανόμενο/διαδοχικό; άθροισμα των ψηφίων του αριθμού
καταλήγει στο .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα ψηφίων
Δεν αμφέβαλλα καθόλου τι εννούσες γιατί έκανες ακριβώς το ίδιο λάθος πριν από λίγους μήνες εδώ. Δεν πειράζει να κάνουμε λάθη αλλά, αφού φαινόνταν ότι δεν είχες ξεκαθαρίσει στο μυαλό σου την έννοια, ήταν μία ευκαιρία να την ξεκαθαρίσεις τώρα. Ελπίζω τώρα η εικόνα να είναι σαφής.
Επί της ουσίας.
Έχεις βάλει την ερώτηση στον φάκελο των Α.Ε.Ι. Χμμμμμ.
Να σου θυμίσω ότι στο Δημοτικό έμαθες το κριτήριο διαιρετότητας του . Εκεί λοιπόν έμαθες ότι το άθροισμα των ψηφίων του είναι .... (συμπλήρωσέ το). Με βάση αυτό, τι έχεις να πεις για το άθροισμα των ψηφίων του , ο οποίος είναι ο αριθμός που αφορά την ερώτησή σου;
Θα χαρούμε να δούμε εδώ πώς τελικά θα λύσεις την άσκηση. Περιμένουμε.
Edit: Βλέπω ότι με πρόλαβε ο 2nisic αλλά και πάλι θα περιμένω να τα κάνεις λιανά. Χωρίς modulo.
Re: Άθροισμα ψηφίων
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Μαρ 05, 2021 7:12 pmΔεν αμφέβαλλα καθόλου τι εννούσες γιατί έκανες ακριβώς το ίδιο λάθος πριν από λίγους μήνες εδώ. Δεν πειράζει να κάνουμε λάθη αλλά, αφού φαινόνταν ότι δεν είχες ξεκαθαρίσει στο μυαλό σου την έννοια, ήταν μία ευκαιρία να την ξεκαθαρίσεις τώρα. Ελπίζω τώρα η εικόνα να είναι σαφής.
Επί της ουσίας.
Έχεις βάλει την ερώτηση στον φάκελο των Α.Ε.Ι. Χμμμμμ.
Να σου θυμίσω ότι στο Δημοτικό έμαθες το κριτήριο διαιρετότητας του . Εκεί λοιπόν έμαθες ότι το άθροισμα των ψηφίων του είναι .... (συμπλήρωσέ το). Με βάση αυτό, τι έχεις να πεις για το άθροισμα των ψηφίων του , ο οποίος είναι ο αριθμός που αφορά την ερώτησή σου;
Θα χαρούμε να δούμε εδώ πώς τελικά θα λύσεις την άσκηση. Περιμένουμε.
Edit: Βλέπω ότι με πρόλαβε ο 2nisic αλλά και πάλι θα περιμένω να τα κάνεις λιανά. Χωρίς modulo.
Η απάντηση είναι πολλαπλάσιο του εννιά. Επιπλέον, όσον αφορά την λύση με modulo δεν γνωρίζω την έννοια του modulo σχεδόν καθόλου, οπότε δεν υπάρχει λόγος ανησυχίας του τύπου, ότι μου (μου προσφέρθηκε η λύση στο πιάτο). Ξέχασα να αναφέρω κατά λάθος μπήκε η ερώτηση Α.Ε.Ι. έχω καιρό να χρησιμοποιήσω το mathmatica.
Λύση
πολλαπλάσιο του
πολλαπλάσιο του πάλι πολλαπλάσιο του και ταυτόχρονα φθίνει η τιμή..., ως που να γίνει
Οπότε έχω το δικαίωμα;;;; στο τέλος να προσθέσω το και στο τέλος να γίνει και μετά να το αντιστοιχίσω με το .
και να πω ότι το επαναλαμβανόμενο άθροισμα των ψηφίων του στο τέλος καταλήγει στον αριθμό
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα ψηφίων
Η λύση σου έχει κενό. Για παράδειγμα στο παραπάνω βήμα είναι σαν να νομίζεις ότι
(το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού ) +1
είναι ίσο με
(το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού )
Ομως αυτό δεν αληθεύει. Π.χ για το πρώτο κάνει ενώ το δεύτερο κάνει αφού .
Κάτι λοιπόν λείπει από την απόδειξή σου.
Re: Άθροισμα ψηφίων
Όλα αυτά τα ξέρω γιατί είμαι τουλάχιστον 18 ώρες και προσπαθώ να το αποδείξω και σκέφτηκα ίσως με λυτρώσει το forum αυτό.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Μαρ 05, 2021 8:00 pmΗ λύση σου έχει κενό. Για παράδειγμα στο παραπάνω βήμα είναι σαν να νομίζεις ότι
(το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού ) +1
είναι ίσο με
(το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού )
Ομως αυτό δεν αληθεύει. Π.χ για το πρώτο κάνει ενώ το δεύτερο κάνει αφού .
Κάτι λοιπόν λείπει από την απόδειξή σου.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα ψηφίων
Υπόδειξη:
α) Γράφοντας τον αριθμό ως
δείξε ότι μόντουλο ο αρχικός αριθμός και ο είναι ίσοι.
β) Πόσο είναι μόντουλο ένας αριθμός της μορφής ;
Re: Άθροισμα ψηφίων
α)Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Μαρ 05, 2021 8:50 pmα) Γράφοντας τον αριθμό ως
δείξε ότι μόντουλο ο αρχικός αριθμός και ο είναι ίσοι.
, όπου
Άρα:
β)β) Πόσο είναι μόντουλο ένας αριθμός της μορφής ;
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα ψηφίων
Ομολογώ ότι δεν καταλαβαίνω το παραπάνω. Είναι σαν να δουλεύεις μόνο με πολλαπλάσια του , αλλά το ζητούμενο είναι για όλους τους αριθμούς. Αν δουλεύουμε μόνο με πολλαπλάσια του 9, τότε η απάντηση modulo είναι , όπως άλλωστε μάθαμε στις μικρές τάξεις (κριτήριο διαιρετότητας του ).
Re: Άθροισμα ψηφίων
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Μαρ 05, 2021 7:12 pmΈκανα επεξεργασία το σχόλιο, διότι ήταν δυσανάγνωστο.
To άθροισμα των ψηφίων του αριθμού
Η ψηφιακή ρίζα του αριθμού
, ισχύει ότι:
, όπου
.
Θέτω
Ομοίως αποδεικνύεται ότι:
,όπου
Θέτω
Προφανώς ισχύει ότι:
, όπου με και και
Έστω , όπου με
Άρα
Επομένως:
τελευταία επεξεργασία από User#0000 σε Τετ Μαρ 10, 2021 2:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα ψηφίων
Δεν μπορώ να το παρακολουθήσω. Είναι χαοτική η κατάσταση και κάνει τα εύκολα, δύσκολα.
Την απόδειξη ουσιαστικά την έχω γράψει στο ποστ νούμερο και δεν ξέρω γιατί επανερχόμαστε.
Κάνω άλλη μία προσπάθεια με βάση αυτά που έγραψα, δηλαδή
Ξέρουμε λοιπόν ότι ένας αριθμός έχει το ίδιο μόντουλο 9 με τον αριθμό που προκύπτει από το άθροισμα των ψηφίων του. ΑΣ ΤΟ ΟΝΟΜΑΣΟΥΜΕ ΙΔΙΟΤΗΤΑ Α.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Μαρ 05, 2021 8:50 pm
α) Γράφοντας τον αριθμό ως
δείξε ότι μόντουλο ο αρχικός αριθμός και ο είναι ίσοι.
β) Πόσο είναι μόντουλο ένας αριθμός της μορφής ;
Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού είναι σαφές ότι είναι μικρότερο από τον ίδιο τον αριθμό, στην περίπτωση που ο αριθμός ειναι διψήφιος και πάνω (γιατί τις δυνάμεις του τις αντικαταστήσαμε με ). Αλλιώς είναι μονοψήφιος και δεν έχουμε τίποτα άλλο να κάνουμε. Αν όχι, επαναλαμβάνουμε την διαδικασία, δηλαδή εφαρμόζουμε ξανά την ΙΔΙΟΤΗΤΑ Α. Αφού το αποτέλεσμά μας μικραίνει, αργά ή γρήγορα θα φτάσουμε σε μονοψήφιο. Τελειώσαμε.
Αυτό κάνουμε από το Δημοτικό, όταν βρίσκουμε μόντουλο το αριθμό.
Για παράδειγμα (και ζητώ συγγνώμη που επαναλαμβάνω κοινοτυπίες) έχουμε
. Μίκρυνε αλλά δεν είναι μονοψήφιος. Ξανακάνω την ΙΔΙΟΤΗΤΑ Α.
. Άλλη μία φορά . Τελειώσαμε.
Τι παραπάνω έκανα με το παράδειγμα που δεν το είπα ήδη; Τίποτα.
Ας πλατειάσω σε βαθμό υπερβολής και ας εξετάσουμε ειδικά τους αριθμούς της μορφής . Γι΄αυτούς ξέρω από πριν ότι μόντουλο είναι ίσοι με . Αυτό που δεν ξέρω από πριν είναι αν ο αριθμός που ξεκινάω είναι της μορφής . Τέτοιος είναι ο που χρησιμοποίησα παραπάνω. Αν λοιπόν εργαστώ σύμφωνα με την ΙΔΙΟΤΗΤΑ Α (όπως έκανα στο παράδειγμα) που θα καταλήξω; Μα στο , αφού αυτό (όπως ξέρω) είναι το μόντουλο του αριθμού. Τίποτα άλλο! Τα αυτονόητα.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες