Διαιρετότητα και πρώτοι
Συντονιστής: nkatsipis
Διαιρετότητα και πρώτοι
Έστω διακεκριμένοι πρώτοι όλοι .
Να δείξετε ότι αν και μόνο αν
Να δείξετε ότι αν και μόνο αν
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Διαιρετότητα και πρώτοι,
Η εικασία του Lehmer λέει το εξής. Αν και φυσικός αριθμός τότε αν τότε ο είναι πρώτος, όπου η ολική συνάρτηση του Euler. Είναι ανοιχτό πρόβλημα.
Δείξτε ότι η εικασία του Lehmer είναι ισοδύναμη με την πρόταση:
Για κάθε με ισχύει .
Δείξτε ότι η εικασία του Lehmer είναι ισοδύναμη με την πρόταση:
Για κάθε με ισχύει .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Διαιρετότητα και πρώτοι
Να αποδειχθεί ότι αν και ο δεν είναι πρώτος:
α) Ο είναι
β)Ο έχει τουλάχιστον πρώτους διαιρέτες
α) Ο είναι
β)Ο έχει τουλάχιστον πρώτους διαιρέτες
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Διαιρετότητα και πρώτοι
Θα το δείξω για οποιασδήποτε μορφής διακεκριμένους πρώτους. Έστω το σύνολο όλων των πρώτων. Έχουμε
Όμως ο είναι θετικός ακέραιος, άρα . Όμως για είναι απλό να δειχθεί επαγωγικά ότι , άτοπο.
Re: Διαιρετότητα και πρώτοι
Το α) είναι αρκετά απλό και το απέδειξε πρώτος ο Lehmer όταν διατύπωνε την εικασία του Lehmer.
Αν ο διαιρείται από τετράγωνο πρώτου τότε και επειδή αυτό σημαίνει . Άρα ο διαιρεί το και το , το οποίο είναι άτοπο.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Διαιρετότητα και πρώτοι,
Re: Διαιρετότητα και πρώτοι,
Η ανισότητα δεν ισχύει. Ισχύει η ανάποδη. Δηλαδή ισχύει η για και .
Οπότε,όλη η απόδειξη είναι λάθος.
Σημείωση: Θα βάλω τη λύση σε λίγο.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Διαιρετότητα και πρώτοι,
Έστω ότι ισχύει η δεύτερη πρόταση.
Έστω ότι δεν ισχύει η εικασία του Lehmer. Έστω ο ελάχιστος σύνθετος με .
Άρα από υπόθεση έχουμε . Έστω . Τότε έχουμε . Άρα .Όμως επειδή γιατί αλλιώς θα είχαμε , το οποίο είναι άτοπο αφού ο είναι σύνθετος.
Τελικά έχουμε δείξει ότι και , το οποίο σημαίνει ότι ο είναι πρώτος.
Άρα .
Επίσης, επειδή ο είναι squarefree(βλεπε ποστ 6) παίρνουμε που είναι άτοπο επειδή ο είναι σύνθετος και ο είναι πρώτος και το συμπέρασμα έπεται.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Διαιρετότητα και πρώτοι,
Ακριβώς επειδή ισχύει η ανάποδη περνώ άτοπο.
Αφού έχουμε με αφού
άρα
Όμως για και ισχύει η ανάποδη.
Άρα
Re: Διαιρετότητα και πρώτοι
Τελικά έχεις δίκιο και σου ζητώ συγγνώμη. Είσαι σωστός και μάλιστα με πιο σύντομη απόδειξη από εμένα. Απλά δεν είχες γράψει την απόδειξη και δεν το έβλεπα σωστό.
Έκανα λάθος.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες