Βάση δακτυλίου ακεραίων

Συντονιστής: nkatsipis

bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Βάση δακτυλίου ακεραίων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Πέμ Μαρ 26, 2020 7:12 am

Να βρεθεί μία βάση για το δακτύλιο των ακεραίων του σώματος K = \mathbb{Q}(\theta) όπου \theta^3 - \theta^2 + 1=0.


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Μαρ 26, 2020 11:35 am

bouzoukman έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 7:12 am
Να βρεθεί μία βάση για το δακτύλιο των ακεραίων του σώματος K = \mathbb{Q}(\theta) όπου \theta^3 - \theta^2 + 1=0.
Βγάζω \{1, \theta, \theta^2\}. Μπορεί κάποιος να επιβεβαιώσει , πριν γράψω την ιδέα που έχω;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Πέμ Μαρ 26, 2020 11:40 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 11:35 am
Βγάζω \{1, \theta, \theta^2\}. Μπορεί κάποιος να επιβεβαιώσει , πριν γράψω την ιδέα που έχω;
Ναι αυτή είναι μία βάση!


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Μαρ 26, 2020 11:43 am

Ωραία. Οπότε το αποτέλεσμα προκύπτει από τη γνωστή πρόταση πως αν έχουμε ένα σώμα \mathbb{F} και ένα αλγεβρικό στοιχείο \alpha πάνω από το \mathbb{F} με ελάχιστο πολυώνυμο p(X) βαθμού n τότε μία βάση του \mathbb{F} είναι η \{1, \alpha, ... , \alpha^{n-1} \}. Εδώ το ελάχιστο πολυώνυμο είναι \theta^3-\theta^2+1 διότι είναι irreducible πάνω από το \mathbb{Q}. Η βάση έπεται.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 297
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Πέμ Μαρ 26, 2020 12:05 pm

Όπα μισό.
Νομίζω δεν ισχύει αυτό για δακτύλιους.
Αν πχ. K=\mathbb{Q}(\sqrt{5}) τότε ο δακτύλιος των ακεραίων του K έχει βάση την \left \{1,\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right \} και όχι την \left \{ 1,\sqrt{5} \right \},παρότι το ελάχιστο πολυώνυμο του \sqrt{5} υπέρ του \mathbb{Q} είναι το x^2-5.
Κάνω λάθος; :shock:


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Μαρ 26, 2020 12:09 pm

Χμμ.. λέει δακτύλιος και γω διάβασα σώμα. Έχω να τα πιάσω και κάτι χρόνια, για αυτό ρώτησα για επιβεβαίωση. Οπότε, δεν έχω λύση! :(


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8353
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μαρ 26, 2020 12:54 pm

Αρχικά μαντεύουμε ότι η \{1,\vartheta,\vartheta^2\} είναι μια βάση. (Αν είναι λάθος αυτό που μαντέψαμε δεν πειράζει, θα διορθωθεί αργότερα.)

Πρέπει τώρα να βρούμε τη διακρίνουσα \Delta(1,\vartheta,\vartheta^2). Αν \beta,\gamma οι άλλες δύο ρίζες του πολυωνύμου τότε έχουμε

\displaystyle  \Delta(1,\vartheta,\vartheta^2) =\begin{vmatrix} 1 & \vartheta & \vartheta^2 \\ 
1 & \beta & \beta^2 \\ 
1 & \gamma & \gamma^2 
\end{vmatrix}^2

Ο υπολογισμός της ορίζουσας σε αυτό το παράδειγμα δεν είναι τόσο βολικός. Γι' αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο τύπο της διακρίνουσας:

\displaystyle  \Delta(1,\vartheta,\vartheta^2) = (-1)^{\binom{3}{2}} N(f'(\vartheta)) = -N(3\vartheta^2 - 2\vartheta) = -N(\vartheta)N(3\vartheta-2)

όπου f το ελάχιστο πολυώνυμο του \vartheta και N το norm ενός στοιχείου.

Έχουμε N(\vartheta) = \vartheta\beta\gamma = -1 και

\displaystyle \displaystyle{N(3\vartheta-2) = (3\vartheta-2)(3\beta-2)(3\gamma-2) = 27\vartheta\beta\gamma - 18(\vartheta\beta + \beta\gamma + \gamma\vartheta) + 12(\vartheta + \beta+\gamma) - 8 = -27+12-8 = -23}

Επειδή ο αριθμός -23 είναι ελεύθερος τετραγώνου, τότε η \{1,\vartheta,\vartheta^2\} είναι βάση του δακτυλίου ακεραίων.

[Σε διαφορετική περίπτωση θα έπρεπε να ελέγξουμε για κάθε πρώτο p ώστε ο p^2 να διαιρεί τη διακρίνουσα αν κάποιο από τα στοιχεία (m_1 + m_2\vartheta + m_3\vartheta^2)/p είναι αλγεβρικός ακέραιος (όπου m_1,m_2,m_3 \in \mathbb{Z}). Αν όχι, τότε έχουμε ήδη τη βάση που θέλουμε. Αλλιώς βελτιώνουμε αυτό που μαντέψαμε για βάση και επαναλαμβάνουμε.]


bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Πέμ Μαρ 26, 2020 3:34 pm

Demetres έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 12:54 pm
Αρχικά μαντεύουμε ότι η \{1,\vartheta,\vartheta^2\} είναι μια βάση. (Αν είναι λάθος αυτό που μαντέψαμε δεν πειράζει, θα διορθωθεί αργότερα.)

Πρέπει τώρα να βρούμε τη διακρίνουσα \Delta(1,\vartheta,\vartheta^2). Αν \beta,\gamma οι άλλες δύο ρίζες του πολυωνύμου τότε έχουμε

\displaystyle  \Delta(1,\vartheta,\vartheta^2) =\begin{vmatrix} 1 & \vartheta & \vartheta^2 \\ 
1 & \beta & \beta^2 \\ 
1 & \gamma & \gamma^2 
\end{vmatrix}^2
....
Τέλεια! Αυτή την απόδειξη είχα κι εγώ στο μυαλό μου!


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης