Βάση δακτυλίου ακεραίων
Συντονιστής: nkatsipis
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Βάση δακτυλίου ακεραίων
Να βρεθεί μία βάση για το δακτύλιο των ακεραίων του σώματος όπου .
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Λέξεις Κλειδιά:
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων
Βγάζω . Μπορεί κάποιος να επιβεβαιώσει , πριν γράψω την ιδέα που έχω;bouzoukman έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 26, 2020 7:12 amΝα βρεθεί μία βάση για το δακτύλιο των ακεραίων του σώματος όπου .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων
Ναι αυτή είναι μία βάση!Tolaso J Kos έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 26, 2020 11:35 amΒγάζω . Μπορεί κάποιος να επιβεβαιώσει , πριν γράψω την ιδέα που έχω;
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων
Ωραία. Οπότε το αποτέλεσμα προκύπτει από τη γνωστή πρόταση πως αν έχουμε ένα σώμα και ένα αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το με ελάχιστο πολυώνυμο βαθμού τότε μία βάση του είναι η . Εδώ το ελάχιστο πολυώνυμο είναι διότι είναι irreducible πάνω από το . Η βάση έπεται.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων
Όπα μισό.
Νομίζω δεν ισχύει αυτό για δακτύλιους.
Αν πχ. τότε ο δακτύλιος των ακεραίων του έχει βάση την και όχι την ,παρότι το ελάχιστο πολυώνυμο του υπέρ του είναι το .
Κάνω λάθος;
Νομίζω δεν ισχύει αυτό για δακτύλιους.
Αν πχ. τότε ο δακτύλιος των ακεραίων του έχει βάση την και όχι την ,παρότι το ελάχιστο πολυώνυμο του υπέρ του είναι το .
Κάνω λάθος;
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων
Χμμ.. λέει δακτύλιος και γω διάβασα σώμα. Έχω να τα πιάσω και κάτι χρόνια, για αυτό ρώτησα για επιβεβαίωση. Οπότε, δεν έχω λύση!
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων
Αρχικά μαντεύουμε ότι η είναι μια βάση. (Αν είναι λάθος αυτό που μαντέψαμε δεν πειράζει, θα διορθωθεί αργότερα.)
Πρέπει τώρα να βρούμε τη διακρίνουσα . Αν οι άλλες δύο ρίζες του πολυωνύμου τότε έχουμε
Ο υπολογισμός της ορίζουσας σε αυτό το παράδειγμα δεν είναι τόσο βολικός. Γι' αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο τύπο της διακρίνουσας:
όπου το ελάχιστο πολυώνυμο του και το norm ενός στοιχείου.
Έχουμε και
Επειδή ο αριθμός είναι ελεύθερος τετραγώνου, τότε η είναι βάση του δακτυλίου ακεραίων.
[Σε διαφορετική περίπτωση θα έπρεπε να ελέγξουμε για κάθε πρώτο ώστε ο να διαιρεί τη διακρίνουσα αν κάποιο από τα στοιχεία είναι αλγεβρικός ακέραιος (όπου . Αν όχι, τότε έχουμε ήδη τη βάση που θέλουμε. Αλλιώς βελτιώνουμε αυτό που μαντέψαμε για βάση και επαναλαμβάνουμε.]
Πρέπει τώρα να βρούμε τη διακρίνουσα . Αν οι άλλες δύο ρίζες του πολυωνύμου τότε έχουμε
Ο υπολογισμός της ορίζουσας σε αυτό το παράδειγμα δεν είναι τόσο βολικός. Γι' αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο τύπο της διακρίνουσας:
όπου το ελάχιστο πολυώνυμο του και το norm ενός στοιχείου.
Έχουμε και
Επειδή ο αριθμός είναι ελεύθερος τετραγώνου, τότε η είναι βάση του δακτυλίου ακεραίων.
[Σε διαφορετική περίπτωση θα έπρεπε να ελέγξουμε για κάθε πρώτο ώστε ο να διαιρεί τη διακρίνουσα αν κάποιο από τα στοιχεία είναι αλγεβρικός ακέραιος (όπου . Αν όχι, τότε έχουμε ήδη τη βάση που θέλουμε. Αλλιώς βελτιώνουμε αυτό που μαντέψαμε για βάση και επαναλαμβάνουμε.]
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων
Τέλεια! Αυτή την απόδειξη είχα κι εγώ στο μυαλό μου!
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες