Βάση δακτυλίου ακεραίων

bouzoukman · #1

Να βρεθεί μία βάση για το δακτύλιο των ακεραίων του σώματος $K = \mathbb{Q}(\theta)$ όπου $\theta^3 - \theta^2 + 1=0$ .

Tolaso J Kos · #2

bouzoukman έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 26, 2020 7:12 am
Να βρεθεί μία βάση για το δακτύλιο των ακεραίων του σώματος $K = \mathbb{Q}(\theta)$ όπου $\theta^3 - \theta^2 + 1=0$ .

Βγάζω $\{1, \theta, \theta^2\}$ . Μπορεί κάποιος να επιβεβαιώσει , πριν γράψω την ιδέα που έχω;

bouzoukman · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 26, 2020 11:35 am
Βγάζω $\{1, \theta, \theta^2\}$ . Μπορεί κάποιος να επιβεβαιώσει , πριν γράψω την ιδέα που έχω;

Ναι αυτή είναι μία βάση!

Tolaso J Kos · #4

Ωραία. Οπότε το αποτέλεσμα προκύπτει από τη γνωστή πρόταση πως αν έχουμε ένα σώμα $\mathbb{F}$ και ένα αλγεβρικό στοιχείο $\alpha$ πάνω από το $\mathbb{F}$ με ελάχιστο πολυώνυμο p(X)

βαθμού

τότε μία βάση του $\mathbb{F}$ είναι η $\{1, \alpha, ... , \alpha^{n-1} \}$ . Εδώ το ελάχιστο πολυώνυμο είναι $\theta^3-\theta^2+1$ διότι είναι irreducible πάνω από το $\mathbb{Q}$ . Η βάση έπεται.

min## · #5

Όπα μισό.
Νομίζω δεν ισχύει αυτό για δακτύλιους.
Αν πχ. $K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ τότε ο δακτύλιος των ακεραίων του

έχει βάση την $\left \{1,\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right \}$ και όχι την $\left \{ 1,\sqrt{5} \right \}$ ,παρότι το ελάχιστο πολυώνυμο του $\sqrt{5}$ υπέρ του $\mathbb{Q}$ είναι το x^2-5

.
Κάνω λάθος;

Tolaso J Kos · #6

Χμμ.. λέει δακτύλιος και γω διάβασα σώμα. Έχω να τα πιάσω και κάτι χρόνια, για αυτό ρώτησα για επιβεβαίωση. Οπότε, δεν έχω λύση!

#7

Αρχικά μαντεύουμε ότι η $\{1,\vartheta,\vartheta^2\}$ είναι μια βάση. (Αν είναι λάθος αυτό που μαντέψαμε δεν πειράζει, θα διορθωθεί αργότερα.)

Πρέπει τώρα να βρούμε τη διακρίνουσα $\Delta(1,\vartheta,\vartheta^2)$ . Αν $\beta,\gamma$ οι άλλες δύο ρίζες του πολυωνύμου τότε έχουμε

$\displaystyle \Delta(1,\vartheta,\vartheta^2) =\begin{vmatrix} 1 & \vartheta & \vartheta^2 \\ 1 & \beta & \beta^2 \\ 1 & \gamma & \gamma^2 \end{vmatrix}^2$

Ο υπολογισμός της ορίζουσας σε αυτό το παράδειγμα δεν είναι τόσο βολικός. Γι' αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο τύπο της διακρίνουσας:

$\displaystyle \Delta(1,\vartheta,\vartheta^2) = (-1)^{\binom{3}{2}} N(f'(\vartheta)) = -N(3\vartheta^2 - 2\vartheta) = -N(\vartheta)N(3\vartheta-2)$

όπου

το ελάχιστο πολυώνυμο του $\vartheta$ και

το norm ενός στοιχείου.

Έχουμε $N(\vartheta) = \vartheta\beta\gamma = -1$ και

$\displaystyle \displaystyle{N(3\vartheta-2) = (3\vartheta-2)(3\beta-2)(3\gamma-2) = 27\vartheta\beta\gamma - 18(\vartheta\beta + \beta\gamma + \gamma\vartheta) + 12(\vartheta + \beta+\gamma) - 8 = -27+12-8 = -23}$

Επειδή ο αριθμός

είναι ελεύθερος τετραγώνου, τότε η $\{1,\vartheta,\vartheta^2\}$ είναι βάση του δακτυλίου ακεραίων.

[Σε διαφορετική περίπτωση θα έπρεπε να ελέγξουμε για κάθε πρώτο

ώστε ο

να διαιρεί τη διακρίνουσα αν κάποιο από τα στοιχεία $(m_1 + m_2\vartheta + m_3\vartheta^2)/p$ είναι αλγεβρικός ακέραιος (όπου $m_1,m_2,m_3 \in \mathbb{Z})$ . Αν όχι, τότε έχουμε ήδη τη βάση που θέλουμε. Αλλιώς βελτιώνουμε αυτό που μαντέψαμε για βάση και επαναλαμβάνουμε.]

bouzoukman · #8

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 26, 2020 12:54 pm
Αρχικά μαντεύουμε ότι η $\{1,\vartheta,\vartheta^2\}$ είναι μια βάση. (Αν είναι λάθος αυτό που μαντέψαμε δεν πειράζει, θα διορθωθεί αργότερα.)

Πρέπει τώρα να βρούμε τη διακρίνουσα $\Delta(1,\vartheta,\vartheta^2)$ . Αν $\beta,\gamma$ οι άλλες δύο ρίζες του πολυωνύμου τότε έχουμε

$\displaystyle \Delta(1,\vartheta,\vartheta^2) =\begin{vmatrix} 1 & \vartheta & \vartheta^2 \\ 1 & \beta & \beta^2 \\ 1 & \gamma & \gamma^2 \end{vmatrix}^2$
....

Τέλεια! Αυτή την απόδειξη είχα κι εγώ στο μυαλό μου!

Βάση δακτυλίου ακεραίων

Βάση δακτυλίου ακεραίων

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

Μέλη σε σύνδεση