Διοφαντική εξίσωση με κύβο

Συντονιστής: nkatsipis

bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Διοφαντική εξίσωση με κύβο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Τετ Μαρ 25, 2020 8:36 pm

Να αποδειχθεί ότι η Διοφαντική εξίσωση

\displaystyle{ 
y^2 = x^3 - 2, 
}

έχεις λύσεις τις (x,y) = (3,\pm 5).


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 297
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Διοφαντική εξίσωση με κύβο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τετ Μαρ 25, 2020 8:47 pm

bouzoukman έγραψε:
Τετ Μαρ 25, 2020 8:36 pm
Να αποδειχθεί ότι η Διοφαντική εξίσωση

\displaystyle{ 
y^2 = x^3 - 2, 
}

έχεις λύσεις τις (x,y) = (3,\pm 5).
Νομίζω είναι κλασική και οφείλεται στον Fermat.
Αντιμετωπίζεται με (σχετικά) στοιχειώδη Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών.Την αφήνω όποιος θέλει να δοκιμάσει
Edit.Βασικά όπως είναι η εκφώνηση,αρκεί μια αντικατάσταση :lol:


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2901
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Διοφαντική εξίσωση με κύβο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μαρ 25, 2020 10:41 pm

bouzoukman έγραψε:
Τετ Μαρ 25, 2020 8:36 pm
Να αποδειχθεί ότι η Διοφαντική εξίσωση

\displaystyle{ 
y^2 = x^3 - 2, 
}

έχεις λύσεις τις (x,y) = (3,\pm 5).
Ειναι εύκολο να δούμε ότι οι x,y είναι περιττοί.
Είναι γνωστό ότι το \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]
είναι Ευκλείδεια περιοχή και κατα συνέπεια μοναδικής παραγοντοποίησης.
Επίσης τα unit της είναι τα 1,-1

Γράφουμε την εξίσωση στην μορφή

\displaystyle(y-i\sqrt{2})(y+i\sqrt{2})=x^3

Τα y-i\sqrt{2},y+i\sqrt{2} είναι πρώτα μεταξύ τους.
Γιατί αν d είναι κοινός διαιρέτης τους τότε το N(d) διαιρεί το
N(y-i\sqrt{2})=y^2+2
Αφού το y είναι περιττός το N(d) θα είναι περιττός.
Αλλά το d θα πρέπει να διαιρεί και το 2i\sqrt{2}.
Επειδή  N(2 i\sqrt{2})=8
αναγκαστικά θα είναι N(d)=1 οπότε το d είναι unit

Αφού τα y-i\sqrt{2},y+i\sqrt{2} είναι πρώτα μεταξύ τους θα είναι τέλειοι κύβοι.
(τα unit είναι τέλειοι κύβοι όποτε μπαίνουν μέσα)
Αρα θα υπάρχουν a,b ακέραιοι ώστε

 \displaystyle y-i\sqrt{2}=(a+bi\sqrt{2})^3

Από το φανταστικό μέρος προκύπτει ότι

\displaystyle -1=3a^2b-2b^3=b(3a^2-2b^2)

Από την τελευταία προκύπτει ότι  b=-1,a=1or-1

Αντικαθιστώντας στο πραγματικό μέρος βρίσκουμε y=5 or -5

Τέλος από την αρχική εξίσωση είναι x=3.


stamas1
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:43 pm

Re: Διοφαντική εξίσωση με κύβο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stamas1 » Πέμ Μαρ 26, 2020 12:03 am

Η εξίσωση μετά από πράξεις γίνεται y^2+1=(x-1)(x^2+x+1).
Αν το x\equiv 0,2mod4 τότε υπάρχει πρώτος p της μορφής p=4k+3 που διαιρεί το πρώτο μέλος άρα p|y^2+1\Rightarrow p|y ,p|1 άτοπο.
Αν το x\equiv 1mod4 τότε πάλι το ίδιο θα υπάρχει πρώτος της μορφής p=4k+3 άρα άτοπο. Αν το x\equiv 3mod4 τότε το x=3a+4 με αντικατασταση βγαίνει y^2=64a^3+114a^2+108a+25.
Αν a\neq 0 τοτε γνωρίζοντας οτι (k)^2\equiv 1,0,4mod8 παίρνοντας mod8 βγαίνει y^2\equiv 7mod8 άτοπο
Για a=0\Rightarrow y^2=25 \Rightarrow y=\pm 5.Άρα μοναδικές λύσεις (x,y)=(3,5),(3,-5)


bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Re: Διοφαντική εξίσωση με κύβο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Πέμ Μαρ 26, 2020 7:07 am

min## έγραψε:
Τετ Μαρ 25, 2020 8:47 pm
Νομίζω είναι κλασική και οφείλεται στον Fermat.
Αντιμετωπίζεται με (σχετικά) στοιχειώδη Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών.Την αφήνω όποιος θέλει να δοκιμάσει
Edit.Βασικά όπως είναι η εκφώνηση,αρκεί μια αντικατάσταση :lol:
Πολύ πιθανό! Καθαρά από περιέργεια, έχεις κάποιο reference που να λέει ότι έχει λυθεί από το Φερμά;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Μαρ 25, 2020 10:41 pm


Ειναι εύκολο να δούμε ότι οι x,y είναι περιττοί.
Είναι γνωστό ότι το \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]
είναι Ευκλείδεια περιοχή και κατα συνέπεια μοναδικής παραγοντοποίησης.
Επίσης τα unit της είναι τα 1,-1
....
Κι εγώ αυτή τη λύση είχα στο μυαλό μου.


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 297
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Διοφαντική εξίσωση με κύβο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Πέμ Μαρ 26, 2020 11:00 am

Είναι το https://www.google.com/url?sa=t&source= ... 5212933768.
Από ότι φαίνεται δεν την είχε λύσει ο ίδιος.
Μάλιστα στη Wikipedia λέει ότι είχε εικάσει πως υπάρχουν και άλλα ζεύγη(άλλα 4 το πολύ;)
Εν γένει βέβαια,οι Mordell τύπου εξισώσεις y^3=x^2+n έχουν πεπερασμένο αριθμό λύσεων.


bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Re: Διοφαντική εξίσωση με κύβο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Πέμ Μαρ 26, 2020 11:39 am

Γενικά μία εξίσωση της μορφής

\displaystyle{ 
y^2 = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6, 
}

με ακέραιους συντελεστές έχει πεπερασμένο πλήθος ακέραιων λύσεων. Υπάρχουν και υπολογιστές μέθοδοι που σου επιτρέπουν να υπολογίσεις τις λύσεις.


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2901
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Διοφαντική εξίσωση με κύβο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μαρ 26, 2020 1:01 pm

stamas1 έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 12:03 am
Η εξίσωση μετά από πράξεις γίνεται y^2+1=(x-1)(x^2+x+1).
Αν το x\equiv 0,2mod4 τότε υπάρχει πρώτος p της μορφής p=4k+3 που διαιρεί το πρώτο μέλος άρα p|y^2+1\Rightarrow p|y ,p|1 άτοπο.
Αν το x\equiv 1mod4 τότε πάλι το ίδιο θα υπάρχει πρώτος της μορφής p=4k+3 άρα άτοπο. Αν το x\equiv 3mod4 τότε το x=3a+4 με αντικατασταση βγαίνει y^2=64a^3+114a^2+108a+25.
Αν a\neq 0 τοτε γνωρίζοντας οτι (k)^2\equiv 1,0,4mod8 παίρνοντας mod8 βγαίνει y^2\equiv 7mod8 άτοπο
Για a=0\Rightarrow y^2=25 \Rightarrow y=\pm 5.Άρα μοναδικές λύσεις (x,y)=(3,5),(3,-5)
stamas1 έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 12:03 am
p|y^2+1\Rightarrow p|y ,p|1 άτοπο.
Δεν νομίζω να προκύπτει έτσι.
Προκύπτει γιατί το -1 δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο.
stamas1 έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 12:03 am
Αν το x\equiv 3mod4 τότε το x=3a+4 με αντικατασταση βγαίνει y^2=64a^3+114a^2+108a+25.
Εδώ υπάρχουν τυπογραφικά και δεν εχω δει αν με την διόρθωση προκύπτει άτοπο.
Είναι x=4a+3, y^2=64a^3+144a^2+108a+25.


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1263
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Διοφαντική εξίσωση με κύβο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Πέμ Μαρ 26, 2020 3:47 pm

Αυτό είναι ένα ωραίο άρθρο. https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/g ... lleqn1.pdf
Έχει αρκετές περιπτώσεις που λύνονται στοιχειωδώς, αυτή την έχει στις περιπτώσεις που χρειαζόμαστε αλγεβρική θ.α.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης