Αθροίσματα τετραγώνων
Συντονιστής: nkatsipis
Re: Αθροίσματα τετραγώνων
Προσθετική Θεωρία Αριθμών Άσκηση 6
Έστω ο ελάχιστος αριθμός ώστε κάθε αρκετά μεγάλος αριθμός να γράφεται ως άθροιμα μη αρνητικών κύβων.
Αποδείξτε ότι .
Σημείωση: Ο προσδιορισμός της ακριβής τιμής του είναι ένα από τα μεγαλύτερα ανοιχτά προβλήματα της Προσθετικής Θεωρίας Αριθμών.
Το μόνο που είναι γνωστό είναι ότι . Οι περισσότεροι μαθηματικοί πιστεύουν ότι .
Έστω ο ελάχιστος αριθμός ώστε κάθε αρκετά μεγάλος αριθμός να γράφεται ως άθροιμα μη αρνητικών κύβων.
Αποδείξτε ότι .
Σημείωση: Ο προσδιορισμός της ακριβής τιμής του είναι ένα από τα μεγαλύτερα ανοιχτά προβλήματα της Προσθετικής Θεωρίας Αριθμών.
Το μόνο που είναι γνωστό είναι ότι . Οι περισσότεροι μαθηματικοί πιστεύουν ότι .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Αθροίσματα τετραγώνων
Υπόδειξη: Τι γίνεται όταν ;stranger έγραψε: ↑Πέμ Απρ 02, 2020 4:25 amΠροσθετική Θεωρία Αριθμών Άσκηση 6
Έστω ο ελάχιστος αριθμός ώστε κάθε αρκετά μεγάλος αριθμός να γράφεται ως άθροιμα μη αρνητικών κύβων.
Αποδείξτε ότι .
Σημείωση: Ο προσδιορισμός της ακριβής τιμής του είναι ένα από τα μεγαλύτερα ανοιχτά προβλήματα της Προσθετικής Θεωρίας Αριθμών.
Το μόνο που είναι γνωστό είναι ότι . Οι περισσότεροι μαθηματικοί πιστεύουν ότι .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Αθροίσματα τετραγώνων
Νομίζω ότι η υπόδειξη είναι ουσιαστικά η λύση στην άσκηση. Ας υποθέσουμε ότι , τότε έστω ένας πρώτο με και από το θεώρημα του Dirichlet ξέρουμε ότι υπάρχουν άπειροι τέτοιοι πρώτοι. Τότε από υπόθεση ισχύει . Εύκολα δείχνουμε ότι . Παίρνοντας όλους τους πιθανούς συνδυασμούς βλέπουμε ότι . Άρα .
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Re: Αθροίσματα τετραγώνων
Δεν χρειάζεται να πάρουμε έναν πρώτο. Δουλεύει για οποιονδήποτε και προφανώς υπάρχουν άπειροι τέτοιοι αριθμοί.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Αθροίσματα τετραγώνων
Προσθετική Θεωρία Αριθμών Άσκηση 7
Να δείξετε ότι η μοναδική λύση της στους φυσικούς είναι η .
Δεν έχω λύση.
Να δείξετε ότι η μοναδική λύση της στους φυσικούς είναι η .
Δεν έχω λύση.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Αθροίσματα τετραγώνων
Προσθετική Θεωρία Αριθμών Άσκηση 8
Έστω ο ελάχιστος αριθμός ώστε κάθε φυσικός να γράφεται στη μορφή .
Δείξτε ότι .
Έστω ο ελάχιστος αριθμός ώστε κάθε φυσικός να γράφεται στη μορφή .
Δείξτε ότι .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Αθροίσματα τετραγώνων
Εύκολα βλέπουμε (έχω πάντα χρησιμοποιώ υπολογιστή πλέον για τέτοιους υπολογισμούς!) ότι
απ'όπου το αποτέλεσμα προκύπτει εύκολα.
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Re: Αθροίσματα τετραγώνων
Έστω και ένας πρώτος με .
Από ευκλείδεια διαίρεση έχουμε , όπου το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του με το .
Αθροίζοντας έχουμε , οπότε
.
Επίσης, καθώς .
Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι (1). Θα χρησιμοποιήσουμε μαθηματική επαγωγή.
Για έχουμε ότι η (1) ισχύει.
Έστω ότι ισχύει για , δηλαδή .
Παίρνουμε δύο περιπτώσεις. Αν ο είναι πρώτος τότε .
Επίσης, για κάθε έχουμε επειδή όλοι πρώτοι που είναι μικρότεροι η ίσοι του δεν διαιρούν τον , επειδή ο είναι πρώτος από υπόθεση.
Οπότε = και η (1) ισχύει.
Αν ο δεν είναι πρώτος τότε = το οποίο σημαίνει ότι ισχύει η (1) για τον και το συμπέρασμα έπεται.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Αθροίσματα τετραγώνων
Από την ταυτότητα , έχουμε ότι κάθε πολλαπλάσιο του γράφεται στη μορφή .
Επίσης, έχουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό ισχύει .
Οπότε αν ένας φυσικός αριθμός έχουμε , οπότε
, το οποίο αποδεικνύει ότι .
Σημείωση:
Είναι ανοιχτό πρόβλημα ο προσδιορισμός της ακριβής τιμής του .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες