Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων
Συντονιστής: nkatsipis
Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων
Να βρεθεί ο ελάχιστος φυσικός αριθμός ώστε κάθε φυσικός αριθμός να γράφεται στη μορφή για κάποιους φυσικούς .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 303
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
- Τοποθεσία: Καισαριανή
- Επικοινωνία:
Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων
Νομίζω ότι με την υπόδειξη είναι αρκετά εύκολο, αφού για κάθε άρτιο χρειαζόμαστε 3 και για κάθε περιττό 2 τετράγωνα ενώ για το 6 δεν υπάρχει βραχύτερη γραφή από την:
Πράγματι, δεν μπορούμε να πάρουμε το 6 ως διαφορά δύο τετραγώνων, αφού διαδοχικά τετράγωνα διαφέρουν κατά περιττό και για τετράγωνα μεγαλύτερα του 9 οι διαφορές είναι μεγαλύτερες του 7.
Θυμίζει, στα πολύ απλά του, το θεώρημα του Lagrange η παραπάνω άσκηση - αν και το θεώρημα έχει αρκετά πιο περίτεχνη απόδειξη.
Πράγματι, δεν μπορούμε να πάρουμε το 6 ως διαφορά δύο τετραγώνων, αφού διαδοχικά τετράγωνα διαφέρουν κατά περιττό και για τετράγωνα μεγαλύτερα του 9 οι διαφορές είναι μεγαλύτερες του 7.
Θυμίζει, στα πολύ απλά του, το θεώρημα του Lagrange η παραπάνω άσκηση - αν και το θεώρημα έχει αρκετά πιο περίτεχνη απόδειξη.
Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων
Το συγκεκριμένο πρόβλημα λέγεται "εύκολο πρόβλημα του Waring για τα τετράγωνα".
Το εύκολο πρόβλημα του Waring για τις δυνάμεις ακεραίων, είναι το εξής.
Αν τότε υπάρχει ώστε κάθε φυσικός γράφεται στη μορφή .
Το "δύσκολο πρόβλημα του Waring" είναι να αποδειχθεί ότι αν τότε υπάρχει ώστε κάθε φυσικός γράφεται στη μορφή , το οποίο το απέδειξε ο Hilbert.
Βέβαια υπάρχουν και άλλες ερωτήσεις που μπορείς να κάνεις. Για παράδειγμα ποιο είναι το ελάχιστο και τέτοια αλλά νομίζω ότι είναι ανοιχτό πρόβλημα.
Επίσης είναι ανοιχτό πρόβλημα να βρεθεί ο ελάχιστος αριθμός ώστε κάθε αρκετά μεγάλος φυσικός να είναι άθροισμα κύβων.
Οι περισσότεροι μαθηματικοί πιστέυουν ότι .
Το εύκολο πρόβλημα του Waring για τις δυνάμεις ακεραίων, είναι το εξής.
Αν τότε υπάρχει ώστε κάθε φυσικός γράφεται στη μορφή .
Το "δύσκολο πρόβλημα του Waring" είναι να αποδειχθεί ότι αν τότε υπάρχει ώστε κάθε φυσικός γράφεται στη μορφή , το οποίο το απέδειξε ο Hilbert.
Βέβαια υπάρχουν και άλλες ερωτήσεις που μπορείς να κάνεις. Για παράδειγμα ποιο είναι το ελάχιστο και τέτοια αλλά νομίζω ότι είναι ανοιχτό πρόβλημα.
Επίσης είναι ανοιχτό πρόβλημα να βρεθεί ο ελάχιστος αριθμός ώστε κάθε αρκετά μεγάλος φυσικός να είναι άθροισμα κύβων.
Οι περισσότεροι μαθηματικοί πιστέυουν ότι .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων
Τι γίνεται αν θέλουμε να βρούμε το ελάχιστο ώστε κάθε αρκετά μεγάλος αριθμός να γράφεταιΜάρκος Βασίλης έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 22, 2020 9:29 pmΝομίζω ότι με την υπόδειξη είναι αρκετά εύκολο, αφού για κάθε άρτιο χρειαζόμαστε 3 και για κάθε περιττό 2 τετράγωνα ενώ για το 6 δεν υπάρχει βραχύτερη γραφή από την:
Πράγματι, δεν μπορούμε να πάρουμε το 6 ως διαφορά δύο τετραγώνων, αφού διαδοχικά τετράγωνα διαφέρουν κατά περιττό και για τετράγωνα μεγαλύτερα του 9 οι διαφορές είναι μεγαλύτερες του 7.
Θυμίζει, στα πολύ απλά του, το θεώρημα του Lagrange η παραπάνω άσκηση - αν και το θεώρημα έχει αρκετά πιο περίτεχνη απόδειξη.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 303
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
- Τοποθεσία: Καισαριανή
- Επικοινωνία:
Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων
Για να κάνω την αρχή, από το θεώρημα του Lagrange, ή .stranger έγραψε: ↑Δευ Μαρ 23, 2020 4:47 amΤι γίνεται αν θέλουμε να βρούμε το ελάχιστο ώστε κάθε αρκετά μεγάλος αριθμός να γράφεταιΜάρκος Βασίλης έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 22, 2020 9:29 pmΝομίζω ότι με την υπόδειξη είναι αρκετά εύκολο, αφού για κάθε άρτιο χρειαζόμαστε 3 και για κάθε περιττό 2 τετράγωνα ενώ για το 6 δεν υπάρχει βραχύτερη γραφή από την:
Πράγματι, δεν μπορούμε να πάρουμε το 6 ως διαφορά δύο τετραγώνων, αφού διαδοχικά τετράγωνα διαφέρουν κατά περιττό και για τετράγωνα μεγαλύτερα του 9 οι διαφορές είναι μεγαλύτερες του 7.
Θυμίζει, στα πολύ απλά του, το θεώρημα του Lagrange η παραπάνω άσκηση - αν και το θεώρημα έχει αρκετά πιο περίτεχνη απόδειξη.
Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων
Δεν γίνεται να ισχύει . Από την απόδειξή σου έχουμε ότι . Επίσης μπορεί να ισχύει .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 303
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
- Τοποθεσία: Καισαριανή
- Επικοινωνία:
Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων
Ναι, σωστά, για κάποιον λόγο αγνόησα τα και τα έκανα - εξ ου και η αναφορά στον Lagrange.
Το ενδιαφέρον βρίσκεται στους άρτιους, αφού οι περιττοί γράφονται όλοι ως διαφορές τετραγώνων.
Λοιπόν, όπως και παραπάνω, οι διαφορές διαδοχικών τετραγώνων είναι ακριβώς οι αριθμοί του συνόλου:
(όλοι οι περιττοί αριθμοί, δηλαδή). Επομένως, η διαφορά δύο οποιωνδήποτε τετραγώνων - όχι κατ' ανάγκη διαδοχικών - θα είναι άθροισμα διαδοχικών περιττών αριθμών. Επομένως, έχει νόημα να αναζητήσουμε τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να γράψουμε έναν άρτιο ως άθροισμα (άρτιου πλήθους) διαδοχικών περιττών αριθμών. Οι δυνατές διασπάσεις ενός αρτίου σε αθροίσματα διαδοχικών περιττών αριθμών έχουν ως εξής:
α) , αν
β) , αν
...
γ) , αν , για
Επομένως, για να διασπάται ένας άρτιος σε άθροισμα διαδοχικών περιττών πρέπει να ισχύει για κάποιο - για την δουλειά που εμείς θέλουμε, θα πρέπει και όλοι οι προσθετέοι του αθροίσματος να είναι θετικοί.
Τώρα, για τους άρτιους αριθμούς της μορφής , έχουμε το οποίο είναι περιττός για κάθε τιμή του - ως γινόμενο περιττών - επομένως δεν ισχύει η συνθήκη για κανένα .
Άρα, υπάρχουν αυθαίρετα μεγάλοι άρτιοι που δε γράφονται ως διαφορά τετραγώνων.
Μένει να εξετάσουμε τα αθροίσματα τετραγώνων, αλλά δεν προλαβαίνω αυτή τη στιγμή :Ρ
τελευταία επεξεργασία από Μάρκος Βασίλης σε Τρί Μαρ 24, 2020 11:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων
Για το άθροισμα δύο τετραγώνων υπάρχει ένα θεώρημα(κάπως γνωστό) που λέει ότι ένας φυσικός αριθμός γράφεται ως άθροισμα δύο τετραγώνων αν και μόνο αν στην ανάλυση του σε πρώτους παράγοντες όλοι οι πρώτοι που είναι ισοδύναμοι με έχουν άρτιο εκθέτη.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 303
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
- Τοποθεσία: Καισαριανή
- Επικοινωνία:
Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων
Άρα, για περιττό, ο μας κάνει και πάλι.
Είδα ότι δεν είχα βάλει την κουκκίδα στην προηγούμενη απάντηση και έμοιαζε με 23. Το διορθώνω πάρ'αυτά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες