Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων

stranger · #1

Να βρεθεί ο ελάχιστος φυσικός αριθμός

ώστε κάθε φυσικός αριθμός

να γράφεται στη μορφή $N = \pm x_1^2 \pm x_2^2 \pm..\pm x_k^2$ για κάποιους φυσικούς x_i

.

stranger · #2

Υπόδειξη:

και

.

Μάρκος Βασίλης · #3

Νομίζω ότι με την υπόδειξη είναι αρκετά εύκολο, αφού για κάθε άρτιο χρειαζόμαστε 3 και για κάθε περιττό 2 τετράγωνα ενώ για το 6 δεν υπάρχει βραχύτερη γραφή από την:

$\displaystyle{6=2^2+1^2+1^2.}$

Πράγματι, δεν μπορούμε να πάρουμε το 6 ως διαφορά δύο τετραγώνων, αφού διαδοχικά τετράγωνα διαφέρουν κατά περιττό και για τετράγωνα μεγαλύτερα του 9 οι διαφορές είναι μεγαλύτερες του 7.

Θυμίζει, στα πολύ απλά του, το θεώρημα του Lagrange η παραπάνω άσκηση - αν και το θεώρημα έχει αρκετά πιο περίτεχνη απόδειξη.

stranger · #4

Το συγκεκριμένο πρόβλημα λέγεται "εύκολο πρόβλημα του Waring για τα τετράγωνα".
Το εύκολο πρόβλημα του Waring για τις δυνάμεις ακεραίων, είναι το εξής.
Αν $s \in \mathbb{N}$ τότε υπάρχει $k \in \mathbb{N}$ ώστε κάθε φυσικός

γράφεται στη μορφή $N= \pm x_1^s \pm ...\pm x_k^s$ .
Το "δύσκολο πρόβλημα του Waring" είναι να αποδειχθεί ότι αν $s \in \mathbb{N}$ τότε υπάρχει $k \in \mathbb{N}$ ώστε κάθε φυσικός

γράφεται στη μορφή N= x_1^s + ...+ x_k^s

, το οποίο το απέδειξε ο Hilbert.
Βέβαια υπάρχουν και άλλες ερωτήσεις που μπορείς να κάνεις. Για παράδειγμα ποιο είναι το ελάχιστο

και τέτοια αλλά νομίζω ότι είναι ανοιχτό πρόβλημα.
Επίσης είναι ανοιχτό πρόβλημα να βρεθεί ο ελάχιστος αριθμός

ώστε κάθε αρκετά μεγάλος φυσικός να είναι άθροισμα

κύβων.
Οι περισσότεροι μαθηματικοί πιστέυουν ότι k=4

.

stranger · #5

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 22, 2020 9:29 pm
Νομίζω ότι με την υπόδειξη είναι αρκετά εύκολο, αφού για κάθε άρτιο χρειαζόμαστε 3 και για κάθε περιττό 2 τετράγωνα ενώ για το 6 δεν υπάρχει βραχύτερη γραφή από την:

$\displaystyle{6=2^2+1^2+1^2.}$

Πράγματι, δεν μπορούμε να πάρουμε το 6 ως διαφορά δύο τετραγώνων, αφού διαδοχικά τετράγωνα διαφέρουν κατά περιττό και για τετράγωνα μεγαλύτερα του 9 οι διαφορές είναι μεγαλύτερες του 7.

Θυμίζει, στα πολύ απλά του, το θεώρημα του Lagrange η παραπάνω άσκηση - αν και το θεώρημα έχει αρκετά πιο περίτεχνη απόδειξη.

Τι γίνεται αν θέλουμε να βρούμε το ελάχιστο

ώστε κάθε αρκετά μεγάλος αριθμός να γράφεται $\pm x_1^2 \pm .. \pm x_k^2$

Μάρκος Βασίλης · #6

stranger έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 23, 2020 4:47 am

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 22, 2020 9:29 pm
Νομίζω ότι με την υπόδειξη είναι αρκετά εύκολο, αφού για κάθε άρτιο χρειαζόμαστε 3 και για κάθε περιττό 2 τετράγωνα ενώ για το 6 δεν υπάρχει βραχύτερη γραφή από την:

$\displaystyle{6=2^2+1^2+1^2.}$

Πράγματι, δεν μπορούμε να πάρουμε το 6 ως διαφορά δύο τετραγώνων, αφού διαδοχικά τετράγωνα διαφέρουν κατά περιττό και για τετράγωνα μεγαλύτερα του 9 οι διαφορές είναι μεγαλύτερες του 7.

Θυμίζει, στα πολύ απλά του, το θεώρημα του Lagrange η παραπάνω άσκηση - αν και το θεώρημα έχει αρκετά πιο περίτεχνη απόδειξη.
Τι γίνεται αν θέλουμε να βρούμε το ελάχιστο ώστε κάθε αρκετά μεγάλος αριθμός να γράφεται $\pm x_1^2 \pm .. \pm x_k^2$

Για να κάνω την αρχή, από το θεώρημα του Lagrange, k=3

ή

.

stranger · #7

Δεν γίνεται να ισχύει k=4

. Από την απόδειξή σου έχουμε ότι $k \leq 3$ . Επίσης μπορεί να ισχύει k=2

.

Μάρκος Βασίλης · #8

stranger έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 23, 2020 2:58 pm
Δεν γίνεται να ισχύει . Από την απόδειξή σου έχουμε ότι $k \leq 3$ . Επίσης μπορεί να ισχύει .

Ναι, σωστά, για κάποιον λόγο αγνόησα τα $\pm$ και τα έκανα

- εξ ου και η αναφορά στον Lagrange.

Το ενδιαφέρον βρίσκεται στους άρτιους, αφού οι περιττοί γράφονται όλοι ως διαφορές τετραγώνων.

Λοιπόν, όπως και παραπάνω, οι διαφορές διαδοχικών τετραγώνων είναι ακριβώς οι αριθμοί του συνόλου:

$\displaystyle{\Pi=\{1,3,5,7,\ldots\}}$

(όλοι οι περιττοί αριθμοί, δηλαδή). Επομένως, η διαφορά δύο οποιωνδήποτε τετραγώνων - όχι κατ' ανάγκη διαδοχικών - θα είναι άθροισμα διαδοχικών περιττών αριθμών. Επομένως, έχει νόημα να αναζητήσουμε τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να γράψουμε έναν άρτιο ως άθροισμα (άρτιου πλήθους) διαδοχικών περιττών αριθμών. Οι δυνατές διασπάσεις ενός αρτίου n=2k

σε αθροίσματα διαδοχικών περιττών αριθμών έχουν ως εξής:

α) n=2k=(k-1)+(k+1)

, αν $k\equiv0\mod2$

β) $n=2k=(\frac{k}{2}-3)+(\frac{k}{2}-1)+(\frac{k}{2}+1)+(\frac{k}{2}+3)$ , αν $k\equiv0\mod2^2$

...

γ) $n=\displaystyle 2k=\sum_{i=-2^m}^{2^m-1}\left(\frac{k}{2^m}-(2i+1)\right)$ , αν $k\equiv0\mod2^{m+1}$ , για $m=0,1,\ldots,\lfloor\log_2k\rfloor-1$

Επομένως, για να διασπάται ένας άρτιος n=2k

σε άθροισμα διαδοχικών περιττών πρέπει να ισχύει $k\equiv0\mod2^m$ για κάποιο

- για την δουλειά που εμείς θέλουμε, θα πρέπει και όλοι οι προσθετέοι του αθροίσματος να είναι θετικοί.

Τώρα, για τους άρτιους αριθμούς της μορφής $n=2\cdot3^a$ , $a=1,2,\ldots$ έχουμε k=3^a

το οποίο είναι περιττός για κάθε τιμή του

- ως γινόμενο περιττών - επομένως δεν ισχύει η συνθήκη $k\equiv0\mod2^m$ για κανένα

.

Άρα, υπάρχουν αυθαίρετα μεγάλοι άρτιοι που δε γράφονται ως διαφορά τετραγώνων.

Μένει να εξετάσουμε τα αθροίσματα τετραγώνων, αλλά δεν προλαβαίνω αυτή τη στιγμή :Ρ

stranger · #9

Για το άθροισμα δύο τετραγώνων υπάρχει ένα θεώρημα(κάπως γνωστό) που λέει ότι ένας φυσικός αριθμός γράφεται ως άθροισμα δύο τετραγώνων αν και μόνο αν στην ανάλυση του σε πρώτους παράγοντες όλοι οι πρώτοι που είναι ισοδύναμοι με 3 (mod 4)

έχουν άρτιο εκθέτη.

Μάρκος Βασίλης · #10

stranger έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 24, 2020 8:56 pm
Για το άθροισμα δύο τετραγώνων υπάρχει ένα θεώρημα(κάπως γνωστό) που λέει ότι ένας φυσικός αριθμός γράφεται ως άθροισμα δύο τετραγώνων αν και μόνο αν στην ανάλυση του σε πρώτους παράγοντες όλοι οι πρώτοι που είναι ισοδύναμοι με έχουν άρτιο εκθέτη.

Άρα, για

περιττό, ο $2\cdot3^a$ μας κάνει και πάλι.

Είδα ότι δεν είχα βάλει την κουκκίδα στην προηγούμενη απάντηση και έμοιαζε με 23. Το διορθώνω πάρ'αυτά.

stranger · #11

Τώρα είσαι σωστός. Άρα k=3

.

Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων

Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων

Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων

Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων

Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων

Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων

Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων

Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων

Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων

Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων

Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων

Re: Άθροίσματα και διαφορές τετραγώνων

Μέλη σε σύνδεση