Άθροισμα που είναι περιττός ακέραιος
Συντονιστής: nkatsipis
Άθροισμα που είναι περιττός ακέραιος
Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε ο να είναι περιττός ακέραιος.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Φιλικά,
Αχιλλέας
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Άθροισμα που είναι περιττός ακέραιος
Θέτω και παρατηρώ ότι
Ισχύει επίσης ότι
Επειδή τα είναι ρίζες της τότε από τη θεωρία των αναδρομικών σχέσεων έχουμε .
Οι αρχικές συνθήκες είναι και . Είναι άμεσο τώρα ότι η είναι ακολουθία ακεραίων και είναι απλό να ελεγχθεί ότι modulo 10 η ακολουθία είναι η και είναι περιοδική με περίοδο .
Επομένως για έχουμε και άρα ο που είναι ο δεδομένος αριθμός είναι περιττός ακέραιος.
Ισχύει επίσης ότι
Επειδή τα είναι ρίζες της τότε από τη θεωρία των αναδρομικών σχέσεων έχουμε .
Οι αρχικές συνθήκες είναι και . Είναι άμεσο τώρα ότι η είναι ακολουθία ακεραίων και είναι απλό να ελεγχθεί ότι modulo 10 η ακολουθία είναι η και είναι περιοδική με περίοδο .
Επομένως για έχουμε και άρα ο που είναι ο δεδομένος αριθμός είναι περιττός ακέραιος.
Re: Άθροισμα που είναι περιττός ακέραιος
Το διωνυμικό από μέσα γράφεται.
Αυτό δίνει την αναδρομική με τύπο από την οποία παίρνουμε τους περιττούς όρους (με περιττό δείκτη εννοώντας) για το παραπάνω άθροισμα.
Με λίγη σκέψη,οι περιττοί όροι ικανοποιούν την .
Είναι σχετικά εύκολο να δείξουμε με επαγωγή πως γεγονός που δηλώνει πως αν αγνοήσουμε το πεντάρι στην αρχική,ο αριθμός που μένει είναι πάντα περιττός ακέραιος.
Επομένως αρκεί νδο. για άπειρα .
Για αυτό παρατηρούμε πως και πως η ακολουθία επαναλαμβάνεται κάθε όρους:
Mπορούμε να εργαστούμε στο :
Τα μη μηδενικά στοιχεία αυτού σχηματίζουν μια ομάδα (υπό τον πολλαπλασιασμό) και επομένως για αυτά τα στοιχεία.(η ισότητα στο ).(Θεώρημα -γενίκευση ).Από εδώ,εφαρμόζοντας την παρατήρηση για τα στοιχεία έπεται ότι όντως η ακολουθία επαναλαμβάνεται κάθε όρους ,δηλαδή οι όροι της μας κάνουν κλπ.
edit:too slow
edit:προσθήκη
Αυτό δίνει την αναδρομική με τύπο από την οποία παίρνουμε τους περιττούς όρους (με περιττό δείκτη εννοώντας) για το παραπάνω άθροισμα.
Με λίγη σκέψη,οι περιττοί όροι ικανοποιούν την .
Είναι σχετικά εύκολο να δείξουμε με επαγωγή πως γεγονός που δηλώνει πως αν αγνοήσουμε το πεντάρι στην αρχική,ο αριθμός που μένει είναι πάντα περιττός ακέραιος.
Επομένως αρκεί νδο. για άπειρα .
Για αυτό παρατηρούμε πως και πως η ακολουθία επαναλαμβάνεται κάθε όρους:
Mπορούμε να εργαστούμε στο :
Τα μη μηδενικά στοιχεία αυτού σχηματίζουν μια ομάδα (υπό τον πολλαπλασιασμό) και επομένως για αυτά τα στοιχεία.(η ισότητα στο ).(Θεώρημα -γενίκευση ).Από εδώ,εφαρμόζοντας την παρατήρηση για τα στοιχεία έπεται ότι όντως η ακολουθία επαναλαμβάνεται κάθε όρους ,δηλαδή οι όροι της μας κάνουν κλπ.
edit:too slow
edit:προσθήκη
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες