Διοφαντική εξίσωση

Συντονιστής: nkatsipis

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am

Διοφαντική εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ » Τρί Αύγ 13, 2019 4:13 pm

Να λυθεί η διοφαντική εξίσωση: x^{2}+2xy+2y^{2}-x+2y-4=0.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11227
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διοφαντική εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Αύγ 13, 2019 5:07 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε:
Τρί Αύγ 13, 2019 4:13 pm
Να λυθεί η διοφαντική εξίσωση: x^{2}+2xy+2y^{2}-x+2y-4=0.
Νομίζω ότι είναι πολύ κοινή και χιλιοειπωμένη μορφή Διοφαντικής. Λύνεται με διάφορους τρόπους αλλά να ένας στάνταρ (τυφλοσούρτης που δεν θέλει πολλή σκέψη):

Ως τριώνυμο του x η παραπάνω, τουτέστιν x^{2}+(2y-1)χ+(2y^{2}+2y-4)=0, έχει διακρίνουσα D=-4y^2-12y+17. Την θέλουμε θετική για να έχει λύση ως προς x (ακριβέστερα, πρέπει η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο για να έχουμε ρητή ρίζα x αλλά θα επανέλθουμε σε αυτό). Η

-4y^2-12y+17 \ge 0 δίνει -\frac {3}{2} - \frac {1}{2} \sqrt {26} \le y \le -\frac {3}{2} + \frac {1}{2} \sqrt {26} από όπου y\in \{-4,-3,-2,-1,0,1\}.

Δοκιμάζουμε κάθε μία χωριστά. Τέλειο τετράγωνο D δίνουν οι y=-4, -2,-1 και 1. Η y=-4 δίνει x=4 ή x=5 (δεκτές). 'Όμοια οι υπόλοιπες. Αν δεν έχασα καμία, οι λύσεις είναι (4,-4),(5,-4), (0,-2),(5,-2), (4,-1),(-1,-1), (-1,1),(0,1).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης