
Διοφαντική εξίσωση
Συντονιστής: nkatsipis
-
- Δημοσιεύσεις: 17
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 11565
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διοφαντική εξίσωση
Νομίζω ότι είναι πολύ κοινή και χιλιοειπωμένη μορφή Διοφαντικής. Λύνεται με διάφορους τρόπους αλλά να ένας στάνταρ (τυφλοσούρτης που δεν θέλει πολλή σκέψη):
Ως τριώνυμο του








Δοκιμάζουμε κάθε μία χωριστά. Τέλειο τετράγωνο







-
- Δημοσιεύσεις: 2
- Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 02, 2019 8:00 pm
Re: Διοφαντική εξίσωση
Συγνώμη που απαντάω μετά από τόσο καιρό, αλλά θα ήθελα να προτείνω έναν εναλλαχτικό (αλλά λιγότερο κομψό) τρόπο λύσης.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τρί Αύγ 13, 2019 5:07 pm
Νομίζω ότι είναι πολύ κοινή και χιλιοειπωμένη μορφή Διοφαντικής. Λύνεται με διάφορους τρόπους αλλά να ένας στάνταρ (τυφλοσούρτης που δεν θέλει πολλή σκέψη):
Ως τριώνυμο τουη παραπάνω, τουτέστιν
, έχει διακρίνουσα
. Την θέλουμε θετική για να έχει λύση ως προς
(ακριβέστερα, πρέπει η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο για να έχουμε ρητή ρίζα
αλλά θα επανέλθουμε σε αυτό). Η
δίνει
από όπου
.
Δοκιμάζουμε κάθε μία χωριστά. Τέλειο τετράγωνοδίνουν οι
και
. Η
δίνει
ή
(δεκτές). 'Όμοια οι υπόλοιπες. Αν δεν έχασα καμία, οι λύσεις είναι
.
Όπως αναφέρθηκε στο παραπάνω σχόλιο η διακρίνουσα


είναι ένας φυσικός αριθμός, ώστε:

Τότε, έχουμε το τριώνυμο ως προς y:

με διακρίνουσα:

Αν θέσουμε όπου



Από τα παραπάνω, προκύπτει ότι ο



τότε καταλήγουμε με την εξίσωση:

Με εις άτοπο απαγωγή εύκολα αποδεικνύεται ότι ο α είναι ένας φυσικός ο οποίος δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος ή ίσως του 6. Άρα,


Εν κατακλείδι, το



με διακρίνουσα

To


με διακρίνουσα το

Με αυτό τον τρόπο, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, βρίσκουμε τις λύσεις:

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Ουσιαστικά, με βάσει την παραπάνω λύση, αυτό που προσπαθούμε να κάνουμε είναι να ξεχωρίσουμε τις μεταβλητές


Έτσι, από την εξίσωση:

καταλήγουμε στην εξίσωση:

Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης