Διοφαντική εξίσωση

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ

Να λυθεί η διοφαντική εξίσωση: $x^{2}+2xy+2y^{2}-x+2y-4=0$ .

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 13, 2019 4:13 pm
Να λυθεί η διοφαντική εξίσωση: $x^{2}+2xy+2y^{2}-x+2y-4=0$ .

Νομίζω ότι είναι πολύ κοινή και χιλιοειπωμένη μορφή Διοφαντικής. Λύνεται με διάφορους τρόπους αλλά να ένας στάνταρ (τυφλοσούρτης που δεν θέλει πολλή σκέψη):

Ως τριώνυμο του

η παραπάνω, τουτέστιν $x^{2}+(2y-1)χ+(2y^{2}+2y-4)=0$ , έχει διακρίνουσα D=-4y^2-12y+17

. Την θέλουμε θετική για να έχει λύση ως προς

(ακριβέστερα, πρέπει η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο για να έχουμε ρητή ρίζα

αλλά θα επανέλθουμε σε αυτό). Η

$-4y^2-12y+17 \ge 0$ δίνει $-\frac {3}{2} - \frac {1}{2} \sqrt {26} \le y \le -\frac {3}{2} + \frac {1}{2} \sqrt {26}$ από όπου $y\in \{-4,-3,-2,-1,0,1\}$ .

Δοκιμάζουμε κάθε μία χωριστά. Τέλειο τετράγωνο

δίνουν οι

και

. Η

δίνει

ή

(δεκτές). 'Όμοια οι υπόλοιπες. Αν δεν έχασα καμία, οι λύσεις είναι (4,-4),(5,-4), (0,-2),(5,-2), (4,-1),(-1,-1), (-1,1),(0,1)

.

Διοφαντική εξίσωση

Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση