Συναρτησιακή σχέση

Συντονιστής: nkatsipis

bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Συναρτησιακή σχέση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Παρ Μάιος 31, 2019 6:14 pm

Έστω n θετικός ακέραιος. Να δειχθεί ότι
\displaystyle{ 
\left(\sum_{d\mid n}\tau(d)\right)^2=\sum_{d\mid n}\tau^3(d), 
}

όπου \tau είναι η συνάρτηση που υπολογίζει το πλήθος των διαιρετών το n.


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11744
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συναρτησιακή σχέση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 31, 2019 8:57 pm

Επειδή το αποτέλεσμα αυτό είναι επώνυμο (αλλά δεν θυμάμαι αυτόν που το ανακάλυψε) και επειδή ο τύπος υπάρχει ως θεωρία ή ως άσκηση
σε πολλά βιβλία Θεωρίας Αριθμών, θα δώσω μόνο υπόδειξη.

α) Δείξε ότι το κάθε μέλος είναι πολλαπλασιαστική συνάρτηση.

β) Από το α) αρκεί να δείξεις το αποτέλεσμα για n=p^k, όπου p πρώτος. Αυτό είναι απλό: Θα χρειαστείς τον γνωστό τύπο (που ο ζητούμενος τον γενικεύει) (1+2+...+n)^2=1^3+2^3+...+n^3.


bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Re: Συναρτησιακή σχέση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Κυρ Ιουν 02, 2019 12:41 am

Αυτά είναι τα βασικά βήμα της απόδειξης. Η άσκηση μπήκε πιο πολύ για να θυμηθούμε ιδιότητες των πολλαπλασιαστικών συναρτήσεων!


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης