n-ψήφιος αριθμός

Συντονιστής: nkatsipis

glinos
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 17, 2018 3:08 pm
Τοποθεσία: Περαία, Θεσσαλονίκη

n-ψήφιος αριθμός

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από glinos » Πέμ Μαρ 22, 2018 6:30 pm

Δίνεται ο φυσικός αριθμός A=\underset{n}{\underbrace{\overline{aa...a}}}, όπου a ψηφίο και n\in \mathbb{N}^{\ast}.

Να αποδειχθεί οτί εάν ο A δεν είναι μονοψήφιος, τότε ο A δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.


Γιαννάκης Άγγελος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 791
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: n-ψήφιος αριθμός

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Μαρ 22, 2018 9:31 pm

Καταρχάς θα αποδείξουμε πως ο αριθμός K=11111....1 (n άσσοι με n>1) δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Πράγματι αυτός ο αριθμός είναι της μορφής 4m+3 (αφού το 111111...08 διαιρείται με το 4), άρα δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο.

Άρα ούτε οι αριθμοί 4\cdot K και 9\cdot K είναι τέλεια τετράγωνα.

Ούτε όμως οι αριθμοί 2\cdot K, 3\cdot K, 7\cdot K, 8\cdot K, καθώς λήγουν σε 2, 3, 7 και 8 αντίστοιχα, ψηφία που δεν λήγουν ποτέ τα τέλεια τετράγωνα.

Οι αριθμοί τώρα 5\cdot K, 6\cdot K, διαιρούνται από το 5 και από το 2 αντίστοιχα σε περιττό βαθμό, επομένως επίσης δεν είναι τέλεια τετράγωνα.

Και το ζητούμενο έπεται.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης