Demetres έγραψε:(*) Επειδή οι πράξεις γίνονται σε σώμα η εξίσωση έχει το πολύ

λύσεις. Παρατηρούμε όμως από το μικρό θεώρημα του Fermat ότι οι

είναι όλες λύσεις. Ο έλεγχος ότι είναι διακεκριμένες είναι απλός.
Πράγματι, ο

δεν μπορεί να διαιρεί τον

, όπου

.
Μπορούμε να επεκτείνουμε την μέθοδο και το αποτέλεσμα του Δημήτρη στην περίπτωση που είναι πρώτος ο

; Ναι αν ο πρώτος

δεν διαιρεί τον
![(p-a)^4-(p-b)^4=[(p-a)^2+(p-b)^2]\cdot [(p-a)^2-(p-b)^2] (p-a)^4-(p-b)^4=[(p-a)^2+(p-b)^2]\cdot [(p-a)^2-(p-b)^2]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b63670294a7caa26b108f4ca39c8fbcc.png)
, όπου

. Ότι ο

δεν μπορεί να διαιρεί τον

όταν

προκύπτει εύκολα (όπως στην προηγούμενη παράγραφο). Το ερώτημα λοιπόν είναι αν ο

μπορεί να διαιρεί τον

όταν

, ισοδύναμα αν ο

μπορεί να διαιρεί τον

για

.
Δεν υπάρχει κάποιος προφανής λόγος για να μην ισχύει η παραπάνω διαιρετότητα, και, πράγματι, ήδη για

, ισχύει η
![(4p+1)|[2(a^2+b^2)+(a+b)-p] (4p+1)|[2(a^2+b^2)+(a+b)-p]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c82efbc5629192544b42b81d14dffbca.png)
, με αποτέλεσμα να είναι ίσες,

, οι δυνάμεις

και

. Θα περίμενε κανείς, ακολουθώντας την μέθοδο του Δημήτρη (για την περίπτωση που πρώτος ήταν ο

, ενώ εδώ πρώτος είναι ο

), ότι αντί για

λύσεις θα υπάρχει μία μόνον λύση της

, συγκεκριμένα αυτή που αντιστοιχεί στην

ή, ισοδύναμα,

, δηλαδή στην

και

. Παρατηρούμε όμως ότι λύση της

αποτελεί και η

... και αυτό επειδή, πολύ απλά, λύση της

δεν είναι μόνον η

(που αντιστοιχεί στις Fermat ισοδύναμες λύσεις

και

) αλλά και η

(που δίνει

και

). Για

φτάνουμε δηλαδή στον μέγιστο δυνατό αριθμό λύσεων της

, τον

.
Ας παρατηρηθεί εδώ ότι η μη Fermat λύση

είναι 'συμπληρωματική' της Fermat λύσης

κατά την έννοια

: ισχύει γενικότερα η ισοδυναμία
![(4p+1)|[(b+1)^p-b^p]\leftrightarrow (4p+1)|[((4p-b)+1)^p-(4p-b)^p] (4p+1)|[(b+1)^p-b^p]\leftrightarrow (4p+1)|[((4p-b)+1)^p-(4p-b)^p]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/6dcb1336ed4ba07ee60dda6277c11e13.png)
, όπως ισχύει άλλωστε και η ισοδυναμία
![(2p+1)|[(b+1)^p-b^p]\leftrightarrow (2p+1)|[((2p-b)+1)^p-(2p-b)^p] (2p+1)|[(b+1)^p-b^p]\leftrightarrow (2p+1)|[((2p-b)+1)^p-(2p-b)^p]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/313ddf38418d600d17ccc859962e59cd.png)
(εξ ου και οι συμπληρωματικότητες των Fermat λύσεων (

) της αμέσως προηγούμενης δημοσίευσης).
Στο επόμενο παράδειγμα,

, έχουμε και πάλι μία ανεπιθύμητη διαιρετότητα,
![(4p+1)|[2(a^2+b^2)+(a+b)-p] (4p+1)|[2(a^2+b^2)+(a+b)-p]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c82efbc5629192544b42b81d14dffbca.png)
, για

,

. Αυτό σημαίνει ότι από τις τρεις Fermat λύσεις

χάνουμε την

, που είναι ισοδύναμη προς την τετριμμένη και μη αποδεκτή λύση

. Έχουμε άραγε μη Fermat λύσεις, όπως στην περίπτωση

; Οι Fermat λύσεις που αντιστοιχούν στις δυνάμεις

και

είναι, μέσω των

και

, οι

και

, οπότε, μέσω της παραπάνω αρχής της συμπληρωματικότητας, λαμβάνουμε και την μη Fermat λύση

.
Ο επόμενος

για τον οποίο είναι πρώτος ο

είναι ο

. Έχουμε και πάλι ανεπιθύμητες διαιρετότητες, και ως αποτέλεσμα αυτών τις ανεπιθύμητες ισότητες

και

. Προκύπτουν με τον γνωστό τρόπο τέσσερις Fermat λύσεις της

, οι

. Είναι προφανείς οι συμπληρωματικότητες

. Σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση, δεν υπάρχει προφανής (Fermat) λόγος για επιπλέον λύσεις. Υπάρχουν όμως δύο ακόμη μη προβλεπόμενες λύσεις, συμπληρωματικές αλλήλων, οι

και

. Ο συνολικός αριθμός λύσεων παραμένει ίσος προς

.
Επειδή εξακολουθούμε να έχουμε

λύσεις και για

, τολμώ να διατυπώσω την εξής
ΕΙΚΑΣΙΑ: Αν ο

είναι πρώτος τότε υπάρχουν

λύσεις της
![(4p+1)|[(b+1)^p-b^p] (4p+1)|[(b+1)^p-b^p]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c087d53e41bda0f6c3149cfe00aae4bc.png)
στο

.
Παρατήρηση: Γράφοντας τον πρώτο

ως

γνωρίζουμε από το αρχικό αποτέλεσμα του Δημήτρη ότι υπάρχουν

λύσεις της
![(4p+1)|[(b+1)^{2p}-b^{2p}] (4p+1)|[(b+1)^{2p}-b^{2p}]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c48fb3d01da00429487bdb43813fb0c0.png)
στο

. Για παράδειγμα, υπάρχουν, όπως ήδη είδαμε, πέντε λύσεις της
![13|[(b+1)^6-b^6] 13|[(b+1)^6-b^6]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/adf59123fa4481660fa1a1728dac443b.png)
στο

, αλλά μόνον δύο λύσεις της
![13|[(b+1)^3-b^3] 13|[(b+1)^3-b^3]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9f3a956d764840c0b99e288357635842.png)
στο

.