Ανοιχτό πρόβλημα

Συντονιστής: nkatsipis

Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 212
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Ανοιχτό πρόβλημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Παρ Ιαν 20, 2017 12:23 pm

Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί (p,q) που ικανοποιούν την εξίσωση:
p^3+p=q^7+q.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης

Λέξεις Κλειδιά:
thrassos
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 11, 2016 8:06 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thrassos » Παρ Ιαν 20, 2017 5:11 pm

Καλησπέρα Γιάννη,
Μια προσπάθεια για την άσκηση.
Αρχικά, παραγοντοποιούμε τα δύο μέλη και τα φέρνουμε στην εξής μορφή p(p^2+1)=q(q^6+1) από όπου έπεται πως
p|q^6+1 και q|p^2+1. Άρα διακρίνουμε τις περιπτώσεις :
\bullet q=2 και άρα παίρνουμε ότι p=5 ή p=13 και επειδή για p=13 δεν ικανοποιείται η αρχική καταλήγουμε πως ένα ζεύγος είναι το (p,q)=(5,2).

\bullet q=odd και άρα από την σχέση p|q^6+1 παίρνουμε ότι p=2 και από την αρχική εξίσωση έπεται πως LHS<RHS και άρα αυτή η περίπτωση δεν γεννάει λύσεις.

Φιλικά,
Θράσος
τελευταία επεξεργασία από thrassos σε Παρ Ιαν 20, 2017 6:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Θρασύβουλος Οικονόμου
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ
Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 212
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Παρ Ιαν 20, 2017 5:22 pm

thrassos έγραψε:Καλησπέρα Γιάννη,
Μια προσπάθεια για την άσκηση.
Αρχικά, παραγοντοποιούμε τα δύο μέλη και τα φέρνουμε στην εξής μορφή p(p^2+1)=q(q^6+1) από όπου έπεται πως
p|q^6+1 και q|p^2+1. Άρα διακρίνουμε της περιπτώσεις :
\bullet q=2 και άρα παίρνουμε ότι p=5 ή p=13 και επειδή για p=13 δεν ικανοποιείται η αρχική καταλήγουμε πως ένα ζεύγος είναι το (p,q)=(5,2).

\bullet q=odd και άρα από την σχέση p|q^6+1 παίρνουμε ότι p=2 και από την αρχική εξίσωση έπεται πως LHS<RHS και άρα αυτή η περίπτωση δεν γεννάει λύσεις.

Φιλικά,
Θράσος
Γιατί από την σχέση p|q^6+1 έπεται πως p=2?


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 505
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Παρ Ιαν 20, 2017 5:43 pm

Μπορεί ενας περιττός πρωτος να διαίρει έναν άρτιο.

3|24


thrassos
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 11, 2016 8:06 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thrassos » Παρ Ιαν 20, 2017 5:54 pm

Χάρη αυτό είναι προφανέστατο, απλά εγώ βιάστηκα και έκανα λάθος. Θα επανέλθω όμως μόλις σκεφτώ κάτι πιο καλά τεκμηριωμένο.


Θρασύβουλος Οικονόμου
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ
Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 212
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Κυρ Ιαν 22, 2017 11:32 pm

Μία από τις προσεγγίσεις μου στο πρόβλημα είναι οι εξής:
Προφανώς p>q^2 και τώρα:
1) Αν p=q^2+1 τότε προκύπτει η λύση (p,q)=(5,2)
2) Αν p>5 τότε p>q^2+1 και από την σχέση: p(p^2+1)=q(q^2+1)(q^4-q^2+1) έπεται πως p|q^4-q^2+1 (1) και q|p^2+1 (2)
Από την σχέση (2) πρέπει \left(\frac{-1}{q}\right)=1 άρα από Legendre q\equiv1(\mod{4})
Από την σχέση (1) πρέπει p|(q^2-1)^2+q^2 άρα \left(\frac{-q^2}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)=1 επομένως p\equiv1(\mod{4})
Επίσης από την (1) p|4q^4-4q^2+1+3=(2q^2-1)^2+3 άρα πάλι \left(\frac{-3}{p}\right) επομένως p\equiv1(\mod6) άρα p\equiv1(\mod{12})
Από εκεί και πέρα δεν έχω βρει κάποιον τρόπο να αξιοποιήσω τα παραπάνω.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 212
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Παρ Ιαν 27, 2017 6:43 pm

Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να προσθέσω πως αυτή η άσκηση παραμένει άλυτη. Βέβαια θα χαιρόμουν αν θα ήθελε κάποιος να ασχοληθεί με αυτήν και να προσθέσει τα συμπεράσματά του στο ποστ. Σας ευχαριστώ θερμά όλους όσους τουλάχιστον την κοιτάξατε.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5778
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Ιουν 01, 2017 1:19 am

Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Ιουν 01, 2017 8:13 am

Η λύση εδώ.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 212
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Πέμ Ιουν 01, 2017 9:27 pm

Είχα ξεχάσει να αναφέρω πως λύθηκε. Καλά που αναφέρθηκε...


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1202
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Κυρ Ιουν 25, 2017 12:28 am

Το ίδιο και αν (p,q)=1 (χωρίς δηλαδή συνθήκη πρώτων).
Ενδιαφέρον παρουσιάζει στους ακέραιους.


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης