Τέλειος!

Αρχιμήδης 6 · #1

Να αποδειχθεί ότι ο μόνος άρτιος τέλειος αριθμός που μπορεί να παρασταθεί ως άθροισμα

θετικών ακέραιων κύβων είναι ο

2nisic · #2

Κάθε άρτιος τέλειος αριθμός δίνεται από τον τύπο $2^{n-1}(2^{n}-1)with2^{n}-1=prime$
Η απόδειξη της πρότασης είναι απλή.(Έστω

τέλειος άρτιος και έστω a=2^n*m

τότε......... m=2^(n+1)-1=prime

Άρα έχουμε την εξίσωση:

$2^{n-1}(2^{n}-1)=a^{3}+b^{3}$
Έστω d=(a,b)

and

τότε:

$2^{n-1}(2^{n}-1)=d^3(x^{3}+y^{3})$
$d^{3}|2^{n-1}(2^{n}-1),(2^{n}-1)=prime\Rightarrow d^{3}=2^{t}$
Οπότε λύνουμε την:

$2^{n-1-t}(2^{n}-1)=x^{3}+y^{3}\displaystyle{\Leftrightarrow 2^{n-1}(2^{n}-1)=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$

Παρατηρούμε ότι $(x+y,x^{2}-xy+y^{2})=1or3$

Αν $(x+y,x^{2}-xy+y^{2})=3$ τότε $9|2^{n-1-t}(2^{n}-1)$ που είναι προφανές αδύνατο.

Αν $(x+y,x^{2}-xy+y^{2})=1$ τότε έχουμε

περίπτωσης:

$2^{n}-1=x+y and 2^{n-1-t}=x^{2}-xy+y^{2}$
Case1

Αν

τότε:Από την πρώτη έχω ένας άρτιος και ο άλλος περιττός ενώ από την δεύτερη και οι δύο περιττή.Αδυνατη.

Case 2

Αν

έχω την: $prime=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$ που έχει μοναδική λύση την $prime=2}\Leftrightarrow 2^{n}-1=2contradiction$

$2^{n-1-t}=x+y$ and $2^{n}-1=x^{2}-xy+y^{2}$

case1

Αν $n-1-t\geq 3$ τότε:
$x\equiv 1(mod8)and y\equiv 7(mod8)orx\equiv 3(mod8)and y\equiv 5(mod8)$ η τα αντίστροφα όμως τότε:

$x^{2}-xy+y^{2}=3(mod8)$
2^n-1=7(mod8)

Αδύνατο

Αν

Εξετάζω με το χέρι τής 4,2,1=x+y

.....

Άρα οι λύσεις είναι: (n,a,b):(3,3,1)(3,1,3)

Τέλειος!

Τέλειος!

Re: Τέλειος!

Μέλη σε σύνδεση