Ἀνάγωγο πολυώνυμο

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Εἶναι τό πολυώνυμο

$\displaystyle{ p(x)=\prod_{k=1}^{2013}(x-k)^2+2014, }$

ἀνάγωγο ἐπί τοῦ $\mathbb Q$ ;

#2

Επαναφορά!

#3

Δύσκολο!

Το πολυώνυμο ασφαλώς δεν έχει πραγματική ρίζα. Οπότε αν δεν ήταν ανάγωγο θα μπορούσαμε να γράψουμε p(x) = f(x)g(x)

με τα $f(x),g(x) \in \mathbb{Z}[x]$ να έχουν άρτιο βαθμό και να είναι παντού θετικά. [Ας θυμηθούμε ότι αν ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές είναι ανάγωγο επί του $\mathbb{Z}$ τότε είναι και ανάγωγο επί του $\mathbb{Q}$ .]

Έστω $\deg(f(x) \leqslant \deg(g(x)$ οπότε είναι $\deg(f(x)) \leqslant 2013$ και άρα και $\deg(f(x)) \leqslant 2012$ .

Παρατηρούμε ότι τα $f(1),\ldots,f(2013)$ διαιρούν το $2014 = 2 \cdot 19 \cdot 53$ ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Αφού τα $f(1),\ldots,f(2013)$ είναι θετικοί ακέραιοι θα παίρνουν μόνο μία από

πιθανές τιμές. Οπότε μία από αυτές τις τιμές θα λαμβάνεται τουλάχιστον από 252

από τα $f(1),f(2),\ldots,f(2013)$ . Άρα πρέπει να έχουμε $\deg(f(x)) \geqslant 253$ .

Έστω $k = \deg(f(x))$ . Από Lagrange Interpolation Formula μπορούμε να γράψουμε

$\displaystyle{ f(x) = \sum_{i=1}^{k+1} f_i(x)}$

όπου

$\displaystyle{ f_i(x) = f(i) \prod_{j \neq i} \frac{x-j}{i - j}}$

Ο συντελεστής του $x^{k}$ στο f(x)

είναι ένας μη μηδενικός ακέραιος ίσος με

$\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k+1} f(i) \prod_{j \neq i} \frac{1}{i-j}}$

Ισχύει λοιπόν ότι

$\displaystyle{ \begin{aligned} 1 &\leqslant \sum_{i=1}^{k+1} |f(i)| \prod_{j \neq i} \frac{1}{|i-j|} \\ & \leqslant 2014 \sum_{i=1}^{k+1}\prod_{j \neq i} \frac{1}{|i-j|} \\ &= 2014 \sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{(i-1)! (k+1-i)!} \\ &= 2014 \sum_{i=1}^{k+1} \frac{\binom{k}{i-1}}{k!} \\ &= \frac{2014 \cdot 2^k}{k!} \\ & \leqslant \frac{2014 \cdot 2^{253}}{253!} < 1 \end{aligned}}$

άτοπο.

Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται το πιο κάτω λήμμα το οποίο είναι χρήσιμο για κριτήρια αναγωγισιμότητας:

Λήμμα: Έστω ακέραιο πολυώνυμο

βαθμού

και έστω διακεκριμένοι ακέραιοι $a_1,a_2,\ldots,a_{k+1}$ οι οποίοι δεν είναι ρίζες του

. Τότε για τουλάχιστον ένα από τα a_i

ισχύει ότι $|f(a_i)| \geqslant k!/2^k$

Το λήμμα το πήρα από το βιβλίο Polynomials του Prasolov. (Παράγραφος 2.2.3 σελίδα 58.) Το «οι οποίοι δεν είναι ρίζες του

» νομίζω είναι αχρείαστο.

Ἀνάγωγο πολυώνυμο

Ἀνάγωγο πολυώνυμο

Re: Ἀνάγωγο πολυώνυμο

Re: Ἀνάγωγο πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση