Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.
Συντονιστής: nkatsipis
- nkatsipis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 778
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
- Τοποθεσία: Σαντορίνη
- Επικοινωνία:
Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.
Με αφορμή την άσκηση 1 εδώ,
Να βρεθούν οι ακέραιοι για τους οποίους το είναι τετράγωνο ακεραίου.
Νίκος Κατσίπης
Να βρεθούν οι ακέραιοι για τους οποίους το είναι τετράγωνο ακεραίου.
Νίκος Κατσίπης
Re: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.
Ας θέσουμε . (Προφανώς οι δυο ισότητες δεν μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα)
οπότε το πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, προφανώς περιττού.
οπότε (1)*
και
Τέλος, .
*Διευκρίνηση: ο λόγος που ισχύει η (1) είναι ότι έχουμε και , αφου διαφορετικά θα είχαμε , και, άρα που δεν ισχύει
οπότε το πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, προφανώς περιττού.
οπότε (1)*
και
Τέλος, .
*Διευκρίνηση: ο λόγος που ισχύει η (1) είναι ότι έχουμε και , αφου διαφορετικά θα είχαμε , και, άρα που δεν ισχύει
τελευταία επεξεργασία από Marios V. σε Κυρ Αύγ 07, 2011 1:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Μάριος Βοσκού
Re: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.
Νομίζω πως έχεις ξεχάσει να διακρίνεις περιπτώσεις διότι αν το είναι περιττός η σχέση δεν ισχύει.Φερμά_96 έγραψε:Ας θέσουμε . (Προφανώς οι δυο ισότητες δεν μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα)
οπότε το πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, προφανώς περιττού.
οπότε
και
Τέλος, .
Βέβαια είναι πασιφανές ότι αν το είναι περιττός δεν έχουμε λύση,αφού η εξίσωση είναι προφανώς αδύνατη στο
Δημήτρης.
Re: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.
Θεώρησα προφανές πως (και άρα άρτιος), και .
Αλλιώς θα έπρεπαι ο να αφήνει ταυτόχρονα υπόλοιπο και με το , που προφανώς δεν μπορεί να ισχύει.
Αλλιώς θα έπρεπαι ο να αφήνει ταυτόχρονα υπόλοιπο και με το , που προφανώς δεν μπορεί να ισχύει.
Μάριος Βοσκού
Re: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.
Η παραπάνω λύση (όπως μπορείτε να δείτε και εδώ https://artofproblemsolving.com/communi ... ry_problem) είναι ελλιπής.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 13 επισκέπτες