Τελευταίο ψηφίο

Συντονιστής: nkatsipis

orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1325
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Τελευταίο ψηφίο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τρί Απρ 17, 2012 12:16 am

Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού \δισπλαυστυλε{{{3}^{2002}};


fmak65
Δημοσιεύσεις: 702
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 6:59 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Re: Τελευταίο ψηφίο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από fmak65 » Τρί Απρ 17, 2012 12:29 am

Γράφεται 3^{2002}=3^{2}*3^{2000}=3^{2}*3^{4^{500}}=3^{2}*(3^{4})^{500}=9*81^{500}.
Το 81^{500} έχει τελευταίο ψηφίο το 1, οπότε πολλαπλασιαζόμενο με το 9 βγάζει τελευταίο ψηφίο το 9


Μαραντιδης Φωτης
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4286
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Τελευταίο ψηφίο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί Απρ 17, 2012 12:33 am

Σε τέτοιες ασκήσεις όπου μας ζητάνε το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού, προσπαθούμε να βρούμε το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτού με το 10.
Συνήθως προσπαθούμε να βρούμε μια ισοτιμία του τύπου a=1(mod10) ή a=-1(mod10) ή a=0(mod10)

Έτσι, για το πρόβλημά μας έχουμε:

3^{4}=81=1(mod10)\Rightarrow (3^{4})^{500}=1^{500}(mod10)\Rightarrow 3^{2000}=1(mod10)\Rightarrow

3^{2000}.3^{2}=9(mod10)\Rightarrow 3^{2002}=9(mod10) .Άρα λήγει σε9

Na προσθέσω ότι αν μας ζητούν τα δύο τελευταία ψηφία, συνήθως προσπαθούμε να βρούμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού με το 100

Πληροφορίες για τις ισοτιμίες, υπάρχουν στο θέμα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ-ΓΥΜΝΑΣΙΟ.
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ σε Τρί Απρ 17, 2012 12:45 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1325
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Τελευταίο ψηφίο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τρί Απρ 17, 2012 12:45 am

Σας ευχαριστώ.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Τελευταίο ψηφίο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Απρ 17, 2012 12:49 am

Έστω \displaystyle{x} το τελευταίο ψηφίο της δύναμης \displaystyle{3^{n}} .

Προφανώς \displaystyle{x\in \{3,9,7,1\}} αφού οι δυνάμεις του \displaystyle{3} λήγουν στα ψηφία αυτά με την σειρά αυτή.

Έστω \displaystyle{n=4k+u} η ευκλείδεια διαίρεση \displaystyle{n:4} (\displaystyle{u} το υπόλοιπο).

Παρατηρούμε πως \displaystyle{x=\left\{\begin{matrix} 
3 & u=1 \\  
9 & u=2 \\  
7 & u=3\\  
1 & u=0 
\end{matrix}\right.} αφού κάθε \displaystyle{4} ψηφία επαναλαμβάνεται η σειρά αυτή .

Κάνω την ευκλείδεια διαίρεση \displaystyle{2002:4} και βρίσκω πως \displaystyle{2002=4\cdot 500+2}

δηλαδή αφήνει υπόλοιπο \displaystyle{u=2} οπότε ο αριθμός \displaystyle{3^{n}} έχει τελευταίο ψηφίο \displaystyle{x=9}


Δεν ξέρω εαν πρέπει να δικαιολογήσω κάποιο βήμα καθότι δεν έχω ασχοληθεί με διαγωνιστικά μαθηματικά για να γνωρίζω πως γράφονται επίσημα.


Joaakim
Δημοσιεύσεις: 96
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 22, 2020 4:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Τελευταίο ψηφίο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Joaakim » Δευ Ιουν 07, 2021 7:51 pm

orestisgotsis έγραψε:
Τρί Απρ 17, 2012 12:16 am
Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού \δισπλαυστυλε{{{3}^{2002}};
Βγαίνει και πολύ γρήγορα με την Συνάρτηση του Euler. Είναι ord_{10}(3)=4, και επειδή είναι 2002=2mod.4,
έπεται ότι 3^{2002}=3^{2}=9mod.10, άρα το τελευταίο ψηφίο του δοσμένου αριθμού είναι το 9.


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 546
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Τελευταίο ψηφίο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Τρί Ιουν 08, 2021 8:10 pm

Κώδικας σε Python που δίνει το τελευταίο ψηφίο του (κάθε) αριθμού και τον αριθμό ψηφίων του

Κώδικας: Επιλογή όλων

import math

def lastDigit(n) :
     # return the last digit
     return (n % 10)

def numofdigits(n):
    digits = (int)(math.log10(n))
    return digits

n = 3 ** 2002
print('Last Digit is', lastDigit(n))
print('Total number of digits', numofdigits(n))
Μπορείτε να το τρέξετε εδώ ---> https://www.onlinegdb.com/online_python_compiler#


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης