2*5^z=3^t+1

Συντονιστής: nkatsipis

Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1930
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

2*5^z=3^t+1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Ιούλ 10, 2010 3:01 am

Να λυθεί στους θετικούς ακέραιους, ως προς z, t, η εξίσωση:

2\cdot 5^z=3^t+1

Είναι δύσκολη ή κάτι δεν βλέπω;


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4023
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: 2*5^z=3^t+1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Ιούλ 10, 2010 10:28 am

Κώστα γράφω την άκομψη λύση μου περιληπτικά αφού είναι μακροσκελής και γεμάτη πράξεις (που φυσικά δεν έκανα με το χέρι). Ευελπιστώ για καλύτερη και πιο σύντομη λύση την οποία αυτή τη στιγμή δε βλέπω. Ελπίζω να μην έχω χάσει κάπου.

Βρίσκω ως μοναδική λύση την (z,t)=(1,2).

Παίρνοντας mod 4 βρίσκουμε ότι t=2t_1
Παίρνοντας mod 3 βρίσκουμε ότι z=2z_1+1
Παίρνοντας mod 5 βρίσκουμε ότι t_1=2t_2+1
Παίρνοντας mod 9 βρίσκουμε ότι z_1=3z_2
Παίρνοντας mod 7 βρίσκουμε ότι t_2=3t_3
Παίρνοντας mod 13 βρίσκουμε ότι z_2=2z_3
Παίρνοντας mod 17 βρίσκουμε ότι z_3=4z_4 και t_3=4t_4
Παίρνοντας mod 19 βρίσκουμε ότι z_4=3z_5 και t_4=3t_5

και έτσι τελικά η αρχική εξίσωση γίνεται: 5^{144\cdot z_5+1}=\displaystyle\frac{3^{144\cdot t_5+2}+1}{2} στην οποία παίρνοντας mod 27, το πρώτο μέλος είναι ισότιμο με 5\pmod{27} ενώ το δεύτερο είναι ισότιμο με 14\pmod{27}, άτοπο.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1930
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: 2*5^z=3^t+1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Ιούλ 12, 2010 1:04 am

Αλέξανδρε, να είσαι καλά και σε ευχαριστώ!

Ακολουθώντας μια σκέψη μου για την λύση του θέματος εδώ, έπρεπε να λυθούν κάποιες διαφαντικές με αγνώστους στον εκθέτη. Από αυτές οι πλέον ενδιαφέρουσες είναι αυτή που τώρα συζητάμε και η 2\cdot 3^{y}=5^{x}+1. Αυτή έχει μοναδική λύση y=x=1, και ένας τρόπος να το δούμε είναι, να αποδείξουμε ότι το 5^{x}+1 διαιρείται με το 3^{y} αν και μόνον αν το x διαιρείται με το 3^{y-1}.
Για τη περίπτωση που εξετάζουμε τώρα, εικάζω ότι το 3^{t}+1 διαιρείται με το 5^{z} αν και μόνο αν το t διαιρείται με το 2\cdot 5^{z-1},( ή κάτι τέτοιο) αλλά θα το ξάψω κάποια άλλη στιγμή στο μέλλον, λόγω χρόνου! Πάντως, κάθε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη!!!

Να είσαι πάντα καλά και να σε διαβάζουμε!


dimitris pap
Δημοσιεύσεις: 287
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:42 pm

Re: 2*5^z=3^t+1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimitris pap » Τετ Ιούλ 14, 2010 12:36 pm

rek2 έγραψε: η 2\cdot 3^{y}=5^{x}+1. Αυτή έχει μοναδική λύση y=x=1, και ένας τρόπος να το δούμε είναι, να αποδείξουμε ότι το 5^{x}+1 διαιρείται με το 3^{y} αν και μόνον αν το x διαιρείται με το 3^{y-1}.

Για τη περίπτωση που εξετάζουμε τώρα, εικάζω ότι το 3^{t}+1 διαιρείται με το 5^{z} αν και μόνο αν το t διαιρείται με το 2\cdot 5^{z-1},( ή κάτι τέτοιο) αλλά θα το ξάψω κάποια άλλη στιγμή στο μέλλον, λόγω χρόνου! Πάντως, κάθε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη!!!
Ηint:
Το λήμμα για να δειχτεί αυτό λέγεται lifting the exponent (ένα googlarisma θα βγάλει κάποια αποτελέσματα...). Επειτα ανισοτικά νομίζω μπορεί να δειχτεί ότι το t πρέπει να ναι πολύ μικρό ;)


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1930
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: 2*5^z=3^t+1

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Πέμ Ιούλ 15, 2010 11:40 pm

dimitris pap έγραψε:
rek2 έγραψε: η 2\cdot 3^{y}=5^{x}+1. Αυτή έχει μοναδική λύση y=x=1, και ένας τρόπος να το δούμε είναι, να αποδείξουμε ότι το 5^{x}+1 διαιρείται με το 3^{y} αν και μόνον αν το x διαιρείται με το 3^{y-1}.

Για τη περίπτωση που εξετάζουμε τώρα, εικάζω ότι το 3^{t}+1 διαιρείται με το 5^{z} αν και μόνο αν το t διαιρείται με το 2\cdot 5^{z-1},( ή κάτι τέτοιο) αλλά θα το ξάψω κάποια άλλη στιγμή στο μέλλον, λόγω χρόνου! Πάντως, κάθε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη!!!
Ηint:
Το λήμμα για να δειχτεί αυτό λέγεται lifting the exponent (ένα googlarisma θα βγάλει κάποια αποτελέσματα...). Επειτα ανισοτικά νομίζω μπορεί να δειχτεί ότι το t πρέπει να ναι πολύ μικρό ;)
Αγαπητέ Δημήτρη, σε ευχαριστώ για το ενδιαφέρον και την βοήθειά σου!!
Να είσαι πάντα καλά, να προοδεύεις και να πραγματοποιήσεις με τον καλύτερο τρόπο τους σκοπούς της ζωής σου.

Ρεκούμης Κωνσταντίνος


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4023
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: 2*5^z=3^t+1

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Πέμ Ιούλ 15, 2010 11:52 pm

Ο Δημήτρης χρησιμοποίησε απ' ότι μου είχε πει το πολύ χρήσιμο αυτό λήμμα που μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ για να λύσει και την περσινή άσκηση της Βαλκανιάδας.

Δημήτρη αν δε σου κάνει κόπο γράψε τη λύση σου στο συγκεκριμένο πρόβλημα αναλυτικά για να δούμε την εφαρμογή του παραπάνω λήμματος σε πραγματικό πρόβλημα.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
nkatsipis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 767
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
Τοποθεσία: Σαντορίνη
Επικοινωνία:

Re: 2*5^z=3^t+1

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nkatsipis » Παρ Ιούλ 16, 2010 10:50 am

Καλημέρα σε όλους!
Διοφαντικές εξισώσεις της μορφής

\alpha x^m-\beta y^n=k, όπου \alpha, \beta, x, y, k δοσμένοι θετικοί ακέραιοι με x\geq2 και y\geq2 και αγνώστους τα m, n, ονομάζονται εξισώσεις Pillai..

Έχει αποδειχθεί, (με κάποιες υποθέσεις για τα x,y,\alpha,\beta,k), ότι εξισώσεις της παραπάνω μορφής έχουν πεπερασμένο πλήθος λύσεων. Για την απόδειξη εφαρμόστηκε η υπερβατική μέθοδος του Baker. Δηλαδή χρησιμοποιήθηκαν φράγματα γραμμικών μορφών λογαρίθμων αλγεβρικών αριθμών.

Πράγματι, κάποιες εκθετικές διοφαντικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν με πιο elementary τρόπο όπως περιέγραψαν ο Αλέξανδρος και ο Δημήτρης σε προηγούμενα μηνύματα (με modulo ή με το lifting the exponent).

Για το πρόβλημα μας αρκεί το ότι οι εξισώσεις θα έχουν πεπερασμένο πλήθος λύσεων. Οπότε, για Α αρκετά μεγάλο τουλαχιστον ενας απο τους ακεραιους Α,Α+1,Α+2,...,Α+9 θα εχει περισσοτερους απο δυο διαφορετικους πρωτους παραγοντες.

Φιλικά,

Νίκος Κατσίπης


Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: 2*5^z=3^t+1

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Παρ Ιούλ 18, 2014 3:53 pm

rek2 έγραψε:Να λυθεί στους θετικούς ακέραιους, ως προς z, t, η εξίσωση:

2\cdot 5^z=3^t+1

Είναι δύσκολη ή κάτι δεν βλέπω;

Απλή εφαρμογή του θεωρήματος zsigmondi Δες εδώ http://en.wikipedia.org/wiki/Zsigmondy's_theorem

3^2+1=10=2*5

Οπότε για t>2 υπάρχει πρώτος p που δεν ισούται με 5 και 2 που διαιρεί τον 3^t+1 οπότε δεν έχει λύσεις.

Το θεώρημα είναι χρήσιμο για εξισώσεις της μορφής αυτής.

Δημήτρης


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: 2*5^z=3^t+1

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Τετ Ιαν 20, 2016 6:07 am

rek2 έγραψε:Να λυθεί στους θετικούς ακέραιους, ως προς z, t, η εξίσωση:

2\cdot 5^z=3^t+1

Είναι δύσκολη ή κάτι δεν βλέπω;
Είναι μια καλή εφαρμογή του LTE.

Θα αποδείξω ότι μοναδική λύση της εξίσωσης είναι (z,t)=(1,2)

To LTE λήμμα λέει:

Αν x,y δυο ακέραιοι και n περιττός έτσι ώστε p|x+y ,(p,x)=(p,y)=1 τότε

u_p(x^n+y^n)=u_p(x+y)+u_p(n) , όπου u_p(n) είναι η μέγιστη δύναμη του p που διαιρεί το n.

Η εξίσωση 2*5^z=3^t+1 έχει προφανή λύση την (z,t)=(1,2) και ίσως να είναι μοναδική... Γενικά περιμένουμε πεπερασμένο πλήθος λύσεων σε μορφές a*b^x-c*d^y=e για δεδομένους a,b,c,d,e\neq0

3^t+1\equiv0mod5 άρα t\equiv2mod4 συνεπώς να θέσω t=4l+2 άρα η εξίσωση θα έχει την παρακάτω μορφή,


2*5^z=9^{2l+1}+1

Εδώ θα εφαρμοστεί το LTE οπότε,

u_5(2*5^z)=u_5(9^{2l+1}+1)

z=u_5(9+1)+u_5(2l+1)

z=1+u_5(2l+1)

u_5(2l+1)=z-1 άρα η μέγιστη δύναμη του 5 που διαιρεί το 2l+1 είναι z-1 συνεπώς

2l+1=5^{z-1}t , (t,5)=1 , t>0 'αρα

2*5^z=9^{5^{z-1}t}+1 (1)

Για κάθε a>1 επαγωγικά ισχύει ότι 10a<5^a άρα αν θέσω a=5^{z-1} για κάθε z>1 ισχύει

2*5^z=10*5^{z-1}<5^{5^{z-1}}<9^{5^{z-1}t}+1 άρα η (1) δεν έχει λύσεις για z>1 άρα μοναδική λύση z=1


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
2nisic
Δημοσιεύσεις: 105
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: 2*5^z=3^t+1

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Σάβ Φεβ 13, 2021 3:01 pm

Να βρεθούν οι φυσικοί x,y,z τέτοιοι ώστε:

2^{x}5^{y}=3^{z}+1


Με mod8 έχουμε:3^{z}+1\equiv 2or4(mod8)\Rightarrow x=1or2


:santalogo: Αν x=2 τότε έχουμε την:4*5^y=3^z+1

:logo: Αν y=0 έχουμε την λύση (x,y,z):(2,0,1)

:logo: Αν y\neq 0 με mod4 έχουμε z=odd αλλά με mod5 έχουμεz=even Αδύνατο.




:santalogo: Αν x=1 τότε έχουμε την 2*5^{y}=3^{z}+1


:logo: Αν y=0 έχουμε την λύση(x,y,z):(1,0,0)

:logo: Αν y\neq 0 έχουμε την αρχική που έχει λυθεί. Δίνω άλλη μια λύση:

case1 Αν z=2 έχουμε την λύση (x,y,z):(1,1,2)

case2Αν z>2 τότε:
Με mod27 έχουμε:
2*5^{y}\equiv 1(mod27)\Leftrightarrow 5^{y}\equiv 14(mod27)\Leftrightarrow y\equiv 7(mod18)
Με mid19 έχουμε:
3^{z}\equiv 2*5^{y}-1\equiv 2*5^{7}-1\equiv 13-1\equiv 12(mod19)\Leftrightarrow z\equiv 15(mod18)
Όμως με mod37 έχουμε:
LHS\equiv 2*(+-18)\equiv +-1(mod37)
RHS\equiv 3^{z}+1\equiv 3^{15}+1\equiv 12(mod37)
Αδύνατη.




Άρα οι λύσεις είναι(x,y,z):(1,0,0),(2,0,1),(1,1,2)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες