Θεωρία Αριθμών

Συντονιστής: nkatsipis

TrItOs
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Θεωρία Αριθμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Κυρ Ιουν 14, 2020 12:04 am

Να βρεθούν άπειρες τριάδες  ( a , b , c ) θετικών ακεραίων a , b , c ωστε να είναι όροι αριθμητικής προόδους και οι αριθμοί  ab + 1 ,  bc + 1 και  ca + 1 να είναι τέλεια τετράγωνα ακεραίων .
Το ερώτημα μου είναι ποια είναι η ιδέα πίσω από αυτή την άσκηση διότι είναι πολύ ενδιαφέρον .



Λέξεις Κλειδιά:
bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Re: Θεωρία Αριθμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Κυρ Ιουν 28, 2020 7:27 pm

Λοιπόν αυτό το πρόβλημα που ρωτάς έχεις πολύ ενδιαφέρον και μεγάλη ιστορία, ειδικά αν αντί για τριάδες ασχοληθείς με n-αδες. Ο Διόφαντος, αν δεν κάνω λάθος, ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε με αυτό και παρόμοια προβλήματα. Υπάρχει ένας Κροάτης καθηγητής που έχει αφιερώσει την ερευνητική του καριέρα σε αυτού του είδους τα ερωτήματα, δες εδώ.


Όσο αναφορά το πρόβλημα που γράφεις δυστυχώς δεν βρήκα κάποια λύση. Το μόνο που κατάφερα να βρω στο ίντερνετ είναι το Θεώρημα 2 στο link παρακάτω.

https://www.sciencedirect.com/science/a ... 7713000669


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3992
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Θεωρία Αριθμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Ιουν 29, 2020 1:32 am

Μία προτεινόμενη ιδέα πίσω από αυτή την άσκηση είναι η εξίσωση Pell x^2-3y^2=1 \ \ (1) η οποία έχει άπειρες λύσεις (x_n,y_n).

Τότε επιλέγοντας (a,b,c)=(2y_n-x_n,2y_n,2y_n+x_n) παίρνουμε ότι

ab+1=4y_n^2-2x_ny_n+1=3y_n^2+y_n^2-2x_n+1 \stackrel{(1)}{=} x_n^2-1+y_n^2-2x_ny_n+1 = (x_n-y_n)^2

bc+1 = 4y_n^2+2x_ny_n+1= ... = (x_n+y_n)^2

ca+1=4y_n^2-x_n^2+1=3y_n^2+y_n^2-x_n^2+1\stackrel{(1)}{=}x_n^2-1+y_n^2-x_n^2+1=y_n^2

Άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι τέλεια τετράγωνα ακεραίων.

Γενίκευση εδώ

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες