Ανίχνευση πρώτων

Συντονιστής: nkatsipis

bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Ανίχνευση πρώτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Κυρ Απρ 26, 2020 11:53 pm

Έστω \omega(n) να είναι το πλήθος των πρώτων διαιρετών του n. Τότε να δειχθεί ότι

\displaystyle{ 
(\omega\ast\mu)(n) =  
\begin{cases} 
1, \text{n is a prime},\\ 
0, \text{otherwise}, 
\end{cases} 
}

όπου \mu είναι η συνάρτηση Mobius και \ast το γινόμενο Dirichlet.


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal

Λέξεις Κλειδιά:
stranger
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Ανίχνευση πρώτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τρί Απρ 28, 2020 5:00 am

Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι αν F(n) = \sum_{d \mid n}\omega(\frac{n}{d}) \mu(d), τότε F(p)=1 και F(p^k)=0 αν ο p είναι πρώτος και k>1.
Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι F(mn) = 0 αν n,m>1 και (m,n)=1.

Έχουμε F(mn) = \sum_{d \mid nm}\omega(\frac{nm}{d}) \mu(d) =  \sum_{d_1 \mid n, d_2 \mid m}\omega(\frac{nm}{d_1 d_2}) \mu(d_1 d_2)  = \sum_{d_1 \mid n, d_2 \mid m}(\omega(\frac{n}{d_1}) + \omega(\frac{m}{d_2})) \mu(d_1) \mu(d_2)=
 = \sum_{d_1 \mid n} \sum_{d_2 \mid m}\omega(\frac{n}{d_1}) \mu(d_1) \mu(d_2) + \omega(\frac{m}{d_2}) \mu(d_1) \mu(d_2) = (\sum_{d \mid m}\mu(d)) F(n) + (\sum_{d \mid n} \mu(d)) F(m).

Όμως, \sum_{d \mid m}\mu(d) = \sum_{d \mid n}\mu(d) = 0, επειδή n,m >1 και το συμπέρασμα έπεται.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Re: Ανίχνευση πρώτων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Τρί Απρ 28, 2020 9:38 am

stranger έγραψε:
Τρί Απρ 28, 2020 5:00 am
Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι αν F(n) = \sum_{d \mid n}\omega(\frac{n}{d}) \mu(d), τότε F(p)=1 και F(p^k)=0 αν ο p είναι πρώτος και k>1.
Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι F(mn) = 0 αν n,m>1 και (m,n)=1.

Έχουμε F(mn) = \sum_{d \mid nm}\omega(\frac{nm}{d}) \mu(d) =  \sum_{d_1 \mid n, d_2 \mid m}\omega(\frac{nm}{d_1 d_2}) \mu(d_1 d_2)  = \sum_{d_1 \mid n, d_2 \mid m}(\omega(\frac{n}{d_1}) + \omega(\frac{m}{d_2})) \mu(d_1) \mu(d_2)=
 = \sum_{d_1 \mid n} \sum_{d_2 \mid m}\omega(\frac{n}{d_1}) \mu(d_1) \mu(d_2) + \omega(\frac{m}{d_2}) \mu(d_1) \mu(d_2) = (\sum_{d \mid m}\mu(d)) F(n) + (\sum_{d \mid n} \mu(d)) F(m).

Όμως, \sum_{d \mid m}\mu(d) = \sum_{d \mid n}\mu(d) = 0, επειδή n,m >1 και το συμπέρασμα έπεται.
Εξαιρετικά! Κι εγώ αυτή τη λύση είχα στο μυαλό μου! :clap2:


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες