mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 02, 2026 7:13 am**

: Τρομακτική εφαπτομένη.png (16.78 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές

Σε σημείο

, κύκλου

φέρουμε εφαπτόμενο τμήμα SP=r

. Τα

είναι κινούμενα αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου . Βρείτε την $\tan\theta$ , όταν το

εμβαδόν του τετραπλεύρου SPQT

μεγιστοποιείται .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 02, 2026 11:40 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 02, 2026 7:13 am
Τρομακτική εφαπτομένη.pngΣε σημείο , κύκλου φέρουμε εφαπτόμενο τμήμα . Τα

είναι κινούμενα αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου . Βρείτε την $\tan\theta$ , όταν το

εμβαδόν του τετραπλεύρου μεγιστοποιείται .

$\displaystyle (SPQT) = (OTS) + (OSP) + (OPQ) = \frac{r}{2}SE + \frac{{{r^2}}}{2} + \frac{r}{2}PF = \frac{{{r^2}}}{2}(1 + \cos \varphi + \sqrt 2 \cos \omega )$

: Τρομακτική εφαπτομένη.png (18.21 KiB) Προβλήθηκε 55 φορές

Αλλά, $\omega+\varphi=45^\circ$ και αν θέσω $\cos\varphi=x,$ θα είναι $\displaystyle (SPQT) = \frac{{{r^2}}}{2}(1 + 2x + \sqrt {1 - {x^2}} ),$

που έχει για $\boxed{x=\dfrac{2}{\sqrt 5}}$ μέγιστη τιμή $\boxed{{(SPQT)_{\max }} = \frac{{{r^2}}}{2}(\sqrt 5 + 1) = {r^2}\Phi }$

Τότε όμως, $\displaystyle \tan \theta = \frac{{SE}}{{ET}} = \frac{{rx}}{{r - r\sin \varphi }} = \frac{x}{{1 - \sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan\theta=\Phi}$

mathematica.gr

Τρομακτική εφαπτομένη

Τρομακτική εφαπτομένη

Re: Τρομακτική εφαπτομένη