mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 25, 2026 7:21 pm**

Nα αποδειχθεί ότι η ισότητα $a^{2}+b^{2}+c^{2}=5R^{2}$ είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι το κέντρο του κύκλου των εννέα σημείων $O_{9}$ πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 25, 2026 11:58 pm**

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 25, 2026 7:21 pm
Nα αποδειχθεί ότι η ισότητα $a^{2}+b^{2}+c^{2}=5R^{2}$ είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι το κέντρο του κύκλου των εννέα σημείων $O_{9}$ πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου

.

: Κέντρο Euler.png (25.24 KiB) Προβλήθηκε 98 φορές

.
Ενδιαφέρον.

Θα γίνει χρήση δύο αποτελεσμάτων:

α) Ισχύει OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)

. Βλέπε π.χ. εδώ

β) Το κέντρο

του κύκλου του Euler βρίσκεται στο μέσον του ευθυγράμμου τμήματος

. Με άλλα λόγια $OK= \dfrac {1}{2} OH$ .

Τώρα, τo

είναι πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC

αν και μόνον αν OK=R

. Έχουμε τότε από τα παραπάνω

$(OK=R} ) \Leftrightarrow \left ( \dfrac {1}{2} OH = R \right ) \Leftrightarrow (OH =2R)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow ((2R)^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2) ) \Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2}=5R^{2})$ , όπως θέλαμε.

Μία τέτοια περίπτωση φαίνεται στο σχήμα παραπάνω.

mathematica.gr

ΚΕΝΤΡΟ ΚΥΚΛΟΥ EULER

ΚΕΝΤΡΟ ΚΥΚΛΟΥ EULER

Re: ΚΕΝΤΡΟ ΚΥΚΛΟΥ EULER