Θεώρημα του Johannes Hjelmslev

#1

Δίνονται δυο ευθείες στο χώρο, η $\displaystyle{(d_1)}$ και η $\displaystyle{(d_2)}$ .

Πάνω σ΄αυτές υπάρχουν αντίστοιχα οι τριάδες των σημείων $\displaystyle{A,B,C}$ και $\displaystyle{A_1,B_1, C_1}$ αντίστοιχα τέτοιες ώστε:

$\displaystyle{AB=BC}$ και $\displaystyle{A_1B_1=B_1C_1}$ .

Αν $\displaystyle{M,N,P}$ είναι αντίστοιχα τα μέσα των τμημάτων $\displaystyle{AA_1, BB_1, CC_1}$ τότε να δείξετε ότι τα σημεία

$\displaystyle{M,N,P}$ είναι συγγραμμικά.

: Le theorème de Hjelmslev 2.png (19.29 KiB) Προβλήθηκε 898 φορές

Με αφορμή: https://eisatopon.blogspot.com/search?u ... date=false

#2

KDORTSI έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 10, 2025 7:44 pm
Δίνονται δυο ευθείες στο χώρο, η $\displaystyle{(d_1)}$ και η $\displaystyle{(d_2)}$ .

Πάνω σ΄αυτές υπάρχουν αντίστοιχα οι τριάδες των σημείων $\displaystyle{A,B,C}$ και $\displaystyle{A_1,B_1, C_1}$ αντίστοιχα τέτοιες ώστε:

$\displaystyle{AB=BC}$ και $\displaystyle{A_1B_1=B_1C_1}$ .

Αν $\displaystyle{M,N,P}$ είναι αντίστοιχα τα μέσα των τμημάτων $\displaystyle{AA_1, BB_1, CC_1}$ τότε να δείξετε ότι τα σημεία

$\displaystyle{M,N,P}$ είναι συγγραμμικά.

Ενδιαφέρον. Και συμπληρώνω ότι το

είναι το μέσον του

.

Αποδείξεις με διανύσματα: Είναι ως προς κάποια αρχή

,

$\vec {OA}= \vec {a}, \, \vec {OB}= \vec {a}+\vec {b} , \, \vec {OC}= \vec {a}+2\vec {b}$ και όμοια

$\vec {OA_1}= \vec {a_1}, \, \vec {OB_1}= \vec {a_1}+\vec {b_1} , \, \vec {OC_1}= \vec {a_1}+2\vec {b_1}$

Άρα

$\vec {OM}= \dfrac {1}{2}(\vec {a}+ \vec {a_1}) , \, \vec {ON}= \dfrac {1}{2}(\vec {a}+\vec {b}+ \vec {a_1}+\vec {b_1}) , \, \vec {OP}= \dfrac {1}{2}(\vec {a}+2\vec {b}+ \vec {a_1}+2\vec {b_1})$

Από αυτές παρατηρούμε ότι ισχύει $\boxed {\vec {ON}= \dfrac {1}{2}(\vec {OM}+ \vec {OP})}$ , από όπου τα ζητούμενα.

S.E.Louridas · #3

KDORTSI έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 10, 2025 7:44 pm
Δίνονται δυο ευθείες στο χώρο, η $\displaystyle{(d_1)}$ και η $\displaystyle{(d_2)}$ .
Πάνω σ΄αυτές υπάρχουν αντίστοιχα οι τριάδες των σημείων $\displaystyle{A,B,C}$ και $\displaystyle{A_1,B_1, C_1}$ αντίστοιχα τέτοιες ώστε:
$\displaystyle{AB=BC}$ και $\displaystyle{A_1B_1=B_1C_1}$ .Αν $\displaystyle{M,N,P}$ είναι αντίστοιχα τα μέσα των τμημάτων $\displaystyle{AA_1, BB_1, CC_1}$ τότε να δείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{M,N,P}$ είναι συγγραμμικά.
Le theorème de Hjelmslev 2.png
Με αφορμή: https://eisatopon.blogspot.com/search?u ... date=false

Ας μου επιτραπεί και μία άποψη «Retro».

Στο σχήμα που ακολουθεί, με βάση την κατασκευαστική «επέμβαση» που αναφέρεται εκεί, έχουμε δύο δέσμες με κορυφές τα σημεία ,

και τα ζεύγη των μεταξύ τους παραλλήλων επιπέδων των και από την άλλη των

Έτσι έχουμε το παραλληλόγραμμο και βέβαια τα μέσα των αντίστοιχων ευθυγράμμων τμημάτων.

Είναι καθαρό λόγω της παραλληλίας που αναφέραμε ότι τα είναι τα μέσα πλέον των ίσων και παραλλήλων μεταξύ τους

ευθύγραμμων τμημάτων επί του παραλληλογράμμου που μετά ταύτα είναι καθαρό ότι είναι συνευθειακά,

με το μάλιστα να είναι μέσο του , όπως συμπλήρωσε και ο Μιχάλης, αφού οπότε και

: K.D..png (72.05 KiB) Προβλήθηκε 852 φορές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

KDORTSI έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 10, 2025 7:44 pm
Δίνονται δυο ευθείες στο χώρο, η $\displaystyle{(d_1)}$ και η $\displaystyle{(d_2)}$ .

Πάνω σ΄αυτές υπάρχουν αντίστοιχα οι τριάδες των σημείων $\displaystyle{A,B,C}$ και $\displaystyle{A_1,B_1, C_1}$ αντίστοιχα τέτοιες ώστε:

$\displaystyle{AB=BC}$ και $\displaystyle{A_1B_1=B_1C_1}$ .

Αν $\displaystyle{M,N,P}$ είναι αντίστοιχα τα μέσα των τμημάτων $\displaystyle{AA_1, BB_1, CC_1}$ τότε να δείξετε ότι τα σημεία

$\displaystyle{M,N,P}$ είναι συγγραμμικά.

Le theorème de Hjelmslev 2.png
Με αφορμή: https://eisatopon.blogspot.com/search?u ... date=false

Το $\displaystyle{P,B,M,B_1}$ ως γνωστον είναι παραλληλόγραμμο.

#5

Δεν γνώριζα ότι αναφέρεται ως Θεώρημα του Johannes Hjelmslev.
Γενικεύεται πάντως αν οι λόγοι των ευθυγράμμων τμημάτων πάνω στις δύο ευθείες είναι ίσοι όπως και οι λόγοι στους οποίους διαιρούνται τα αντίστοιχα ευθ. τμήματα.

S.E.Louridas · #6

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 10, 2025 11:07 pm
Δεν γνώριζα ότι αναφέρεται ως Θεώρημα του Johannes Hjelmslev.
Γενικεύεται πάντως αν οι λόγοι των ευθυγράμμων τμημάτων πάνω στις δύο ευθείες είναι ίσοι όπως και οι λόγοι στους οποίους διαιρούνται τα αντίστοιχα ευθ. τμήματα.

Σε αυτή τη γενίκευση προσπάθησα να στηριχτώ για να φέρω το εδώ πρόβλημα ως ειδικότατη περίπτωση του λόγου ίσου με (Ταχύτης γαρ)

Είναι καθαρό ότι η λύση του Σταύρου ... πράγματι έγραψε σε άριστο και σύντομο Μαθηματικό περιβάλλον.

#7

KDORTSI έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 10, 2025 7:44 pm
Δίνονται δυο ευθείες στο χώρο, η $\displaystyle{(d_1)}$ και η $\displaystyle{(d_2)}$ .

Πάνω σ΄αυτές υπάρχουν αντίστοιχα οι τριάδες των σημείων $\displaystyle{A,B,C}$ και $\displaystyle{A_1,B_1, C_1}$ αντίστοιχα τέτοιες ώστε:

$\displaystyle{AB=BC}$ και $\displaystyle{A_1B_1=B_1C_1}$ .

Αν $\displaystyle{M,N,P}$ είναι αντίστοιχα τα μέσα των τμημάτων $\displaystyle{AA_1, BB_1, CC_1}$ τότε να δείξετε ότι τα σημεία

$\displaystyle{M,N,P}$ είναι συγγραμμικά.

Με αφορμή: https://eisatopon.blogspot.com/search?u ... date=false

Καλησπέρα...

Αναρτώ και μια ακόμα ιδέα παραπλήσια αυτής του Σωτήρη...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Le theorème de Johannes Hjelmslev 2.png (34.25 KiB) Προβλήθηκε 702 φορές

Φέρουμε τις ημιευθείες $\displaystyle{Me_1, Me_2}$ αντίστοιχα παράλληλες προς τις δοθείσες $\displaystyle{d_1, d_2}$ .

Στη συνέχεια τέμνω την $\displaystyle{Me_1}$ με τις παράλληλες $\displaystyle{BK, CL}$ προς την $\displaystyle{AA_1}$ και όμοια

την $\displaystyle{Me_2}$ με τις παράλληλες $\displaystyle{B_1K_1, C_1L_1}$ πάλι προς την $\displaystyle{AA_1}$ .

Προφανώς τα τετράπλευρα $\displaystyle{BKB_1K_1}$ και $\displaystyle{ CLC_1L_1}$ είναι παραλληλόγραμμα με κέντρα

αντίστοιχα τα σημεία $\displaystyle{N,P}$ .

Έτσι στο ζεύγος ευθειών $\displaystyle{Me_1, Me_2}$ Τα μέσα των παραλλήλων $\displaystyle{KK_1, LL_1}$ , δηλαδή τα σημεία $\displaystyle{N,P}$

σύμφωνα με το θεώρημα της δέσμης θα ορίζουν ευθεία που θα διέρχεται από από την κορυφή της δέσμης δηλαδή

το σημείο $\displaystyle{M}$ .

Σημείωση:

Η παρατήρηση του Ανδρέα είναι σωστή και η ανωτέρω μέθοδος την καλύπτει...

Κώστας Δόρτσιος

Θεώρημα του Johannes Hjelmslev

Θεώρημα του Johannes Hjelmslev

Re: Θεώρημα του Johannes Hjelmslev

Re: Θεώρημα του Johannes Hjelmslev

Re: Θεώρημα του Johannes Hjelmslev

Re: Θεώρημα του Johannes Hjelmslev

Re: Θεώρημα του Johannes Hjelmslev

Re: Θεώρημα του Johannes Hjelmslev

Μέλη σε σύνδεση