Εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι.

[Doloros]

Εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι.png (15.33 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές

Δίδεται κύκλος κέντρου , ευθεία που δεν διέρχεται από το και σημείο μέσα στον κύκλο διαφορετικό από το

Να κατασκευαστεί κύκλος , διερχόμενος από το και να εφάπτεται του δεδομένου κύκλου και της δεδομένης ευθείας .

Διερεύνηση.

[george visvikis]

Εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι.png
Δίδεται κύκλος κέντρου , ευθεία που δεν διέρχεται από το και σημείο μέσα στον κύκλο διαφορετικό από το

Να κατασκευαστεί κύκλος , διερχόμενος από το και να εφάπτεται του δεδομένου κύκλου και της δεδομένης ευθείας .

Διερεύνηση.

Φέρνω τη διάμετρο του κύκλου που είναι κάθετη στην ευθεία στο όπως φαίνεται στο σχήμα. Γράφω τον

κύκλο που διέρχεται από τα σταθερά σημεία Η επανατέμνει τον στο Το πρόβλημα ανάγεται

τώρα στην κατασκευή κύκλου που διέρχεται από τα σταθερά σημεία και εφάπτεται της ευθείας (γνωστή

κατασκευή).

Εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι.png (35.09 KiB) Προβλήθηκε 279 φορές

Διερεύνηση: 1) Αν η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, τότε κάθε κύκλος που διέρχεται

από το και εφάπτεται της ευθείας, θα τέμνει τον σε δύο σημεία, άρα το πρόβλημα δεν έχει λύση.

2) Αν η ευθεία τέμνει τον κύκλο έχουμε δύο λύσεις (όπως στο σχήμα).

3) Αν η ευθεία και ο κύκλος εφάπτονται, έχουμε ακριβώς μία λύση..

[Doloros]

Εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι.png
Δίδεται κύκλος κέντρου , ευθεία που δεν διέρχεται από το και σημείο μέσα στον κύκλο διαφορετικό από το

Να κατασκευαστεί κύκλος , διερχόμενος από το και να εφάπτεται του δεδομένου κύκλου και της δεδομένης ευθείας .

Διερεύνηση.

Φέρνω τη διάμετρο του κύκλου που είναι κάθετη στην ευθεία στο όπως φαίνεται στο σχήμα. Γράφω τον

κύκλο που διέρχεται από τα σταθερά σημεία Η επανατέμνει τον στο Το πρόβλημα ανάγεται

τώρα στην κατασκευή κύκλου που διέρχεται από τα σταθερά σημεία και εφάπτεται της ευθείας (γνωστή

κατασκευή). Εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι.png
Διερεύνηση: 1) Αν η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, τότε κάθε κύκλος που διέρχεται

από το και εφάπτεται της ευθείας, θα τέμνει τον σε δύο σημεία, άρα το πρόβλημα δεν έχει λύση.

2) Αν η ευθεία τέμνει τον κύκλο έχουμε δύο λύσεις (όπως στο σχήμα).

3) Αν η ευθεία και ο κύκλος εφάπτονται, έχουμε ακριβώς μία λύση..

Εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι_λύση Βισβίκη.png (46.04 KiB) Προβλήθηκε 265 φορές

[gbaloglou]

Εναλλακτικά, το κέντρο του ζητούμενου κύκλου βρίσκεται ως τομή έλλειψης (οριζόμενης από τα σημεία που ισαπέχουν από τον κύκλο και το σημείο )* και παραβολής (οριζόμενης από τα σημεία που ισαπέχουν από την ευθεία και το σημείο ).

*ακριβέστερα, έλλειψη με εστίες και και άθροισμα εξ αυτών αποστάσεων -- δείτε πχ εδώ.

[gbaloglou]

Εναλλακτικά, το κέντρο του ζητούμενου κύκλου βρίσκεται ως τομή έλλειψης (οριζόμενης από τα σημεία που ισαπέχουν από τον κύκλο και το σημείο )* και παραβολής (οριζόμενης από τα σημεία που ισαπέχουν από την ευθεία και το σημείο ).

*ακριβέστερα, έλλειψη με εστίες και και άθροισμα εξ αυτών αποστάσεων -- δείτε πχ εδώ.

Ένα παράδειγμα με τον μοναδιαίο κύκλο, την ευθεία και το σημείο

[Και η κοινή χορδή των δύο εφαπτόμενων κύκλων διέρχεται από τον Νότιο Πόλο, όπως ακριβώς 'προέβλεψε' ο Γιώργος Βισβίκης.]

δύο-κωνικές-τρεις-επαφές.png (199.25 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές

[gbaloglou]

Πρόβλημα του Απολλωνίου