Πιθανή κατασκευή

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15542
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πιθανή κατασκευή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Οκτ 19, 2024 7:59 pm

Πιθανή  κατασκευή.png
Πιθανή κατασκευή.png (8.91 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές
Στο άκρο A της ακτίνας OA=r , ενός κύκλου , σχεδιάσαμε εφαπτόμενο τμήμα : AS=3r .

Στόχος είναι να κατασκευάσουμε τέμνουσα SPT , τέτοια ώστε : OT \parallel AP .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13618
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πιθανή κατασκευή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 30, 2024 8:57 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Οκτ 19, 2024 7:59 pm
Πιθανή κατασκευή.pngΣτο άκρο A της ακτίνας OA=r , ενός κύκλου , σχεδιάσαμε εφαπτόμενο τμήμα : AS=3r .

Στόχος είναι να κατασκευάσουμε τέμνουσα SPT , τέτοια ώστε : OT \parallel AP .
Θέτω \displaystyle O(0,0),A(0, - r),S(3r, - r),P\left( {p,\sqrt {{r^2} - {p^2}} } \right),T\left( {t,\sqrt {{r^2} - {t^2}} } \right). Στόχος είναι να βρω τα p, t.
Πιθανή κατασκευή.png
Πιθανή κατασκευή.png (14.83 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές
Από την παραλληλία των OT, AP έχω \displaystyle \frac{{\sqrt {{r^2} - {p^2}}  + r}}{p} = \frac{{\sqrt {{r^2} - {t^2}} }}{t}

Από την συνευθειακότητα των S,P, T είναι \displaystyle \frac{{\sqrt {{r^2} - {p^2}}  + r}}{{p - 3r}} = \frac{{\sqrt {{r^2} - {t^2}}  + r}}{{t - 3r}}

Λύνοντας το σύστημα των παραπάνω εξισώσεων βρίσκω \boxed{p = \frac{{3r}}{4},t = \frac{r}{4}\left( {\sqrt 7  - 1} \right)} και η κατασκευή είναι πλέον απλή.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15542
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Πιθανή κατασκευή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 30, 2024 10:06 am

πιθανή.png
πιθανή.png (22.04 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές
Γιώργο , δεν ξέρω πόσο εύκολα λύνεται το σύστημα αλλά αρκεί μόνο η εύρεση του p , ( για εφετζίδικη απλότητα :lol: ) .

"Ερευνώντας" το σχήμα έχουμε ακόμη τα εξής εντυπωσιακά ευρήματα : α) \phi=\dfrac{3\theta}{2} και β) : \cos\theta-\sin\theta=\dfrac{1}{2} :!:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13618
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πιθανή κατασκευή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 30, 2024 6:09 pm

Πιθανή κατασκευή.β.png
Πιθανή κατασκευή.β.png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 54 φορές
Άλλο ένα εύρημα. Αν οι AT, OP τέμνονται στο K, τότε το AKPS είναι εγγράψιμο και η AT διχοτομεί την O\widehat AP.


ΥΓ. Το σύστημα το έβαλα στον "αυτόματο". Δεν προσπάθησα καν να το λύσω.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15542
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Πιθανή κατασκευή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 30, 2024 6:29 pm

Το ότι η AT είναι διχοτόμος είναι άμεσο από την παραλληλία των OT , AP και την ισοσκέλεια του OTA .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες