Μια άδικη άσκηση

[Ιάσων Κωνσταντόπουλος]

Στο σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας της Α Λυκείου στην παράγραφο 3.2
στο Πορισμα Ι αποδεικνύεται (μεταξύ άλλων) ότι:
οι προσκείμενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες

Στην απόδειξη που παραθέτει το βιβλίο χρησιμοποιείται σιωπηρά το ζητούμενο της παρούσας ανάρτησης:

ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ
Να αποδειχθεί ότι η (εσωτερική) διχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου (ως ημιευθεία) τέμνει την απέναντι πλευρά της σε εσωτερικό της σημείο.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Το ζητούμενο πρέπει να απαντηθεί αποκλειστικά με συνθετική γεωμετρία.

[KARKAR]

Αδικία.png (6.04 KiB) Προβλήθηκε 469 φορές

Έχω το προαίσθημα ότι η απάντησή μου θα απορριφθεί , ωστόσο ... την παρουσιάζω :

Στο εσωτερικό του τμήματος , υπάρχει μοναδικό σημείο , με : .

Τότε η είναι διχοτόμος . Αλλά η διχοτόμος μιας γωνίας είναι μοναδική ...

Ιάσονα , δεν μας έβαζες καλύτερα να αναζητήσουμε το "χρυσόμαλλο δέρας" ;

Πιστεύω ότι είσαι ο πρώτος μαθηματικός στην ιστορία που έχει τέτοιον προβληματισμό

[Φανης Θεοφανιδης]

Καλησπέρα.

Υπάρχει εκτενέστατη αναφορά για το ζητούμενο, στο βιβλίο του αείμνηστου Αντώνη Κυριακόπουλο.
Πρόκειται για τις ασκήσεις του και .

Πολλές φορές έχω και εγώ αυτούς τους προβληματισμούς .
Δηλαδή γιατί μια ευθεία που φέρνω από ένα σημείο τέμνει ένα ευθύγραμμο τμήμα κ. λ. π.
Οι προβληματισμοί αυτοί όμως δεν θα μας αφήσουν να πάμε παρακάτω στη Γεωμετρία.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Πιστεύω ότι είσαι ο πρώτος μαθηματικός στην ιστορία που έχει τέτοιον προβληματισμό

Μπορεί να το πιστεύεις αλλά δεν είναι αληθές.
Ειδικά αυτοί που ασχολούνται με την Γεωμετρία.
Για παράδειγμα αρκεί κάποιος να διαβάσει Κανέλλο ,Ιωαννίδη και άλλους πολλούς.

[george visvikis]

Πιθανόν και η δική μου απάντηση να απορριφθεί.

Άδικη άσκηση.png (8.88 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές

Έστω ότι η διχοτόμος της τέμνει την σε εξωτερικό σημείο (π.χ προς το μέρος του ).

Τότε αφ' ενός και αφ' ετέρου η είναι εσωτερική ημιευθεία της

Άρα, (άτοπο).

[george visvikis]

Ερώτηση στον θεματοδότη: Επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε κριτήρια ισότητας τριγώνων, ή η απόδειξη πρέπει να βασίζεται μόνο σε αξιώματα;

[Al.Koutsouridis]

ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ
Να αποδειχθεί ότι η (εσωτερική) διχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου (ως ημιευθεία) τέμνει την απέναντι πλευρά της σε εσωτερικό της σημείο.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Το ζητούμενο πρέπει να απαντηθεί αποκλειστικά με συνθετική γεωμετρία.

Στον τρόπο που αντιλαμβάνομαι, ότι μπορεί να απαντηθεί αυτό το ερώτημα, πρέπει να δοθεί ένα πλαίσιο στο οποίο θα κινηθούμε. Αυτό θα μπορούσε να είναι το αξιώματα και οι ορισμοί από τα "Θεμέλια της γεωμετρίας" του Hilbert. Μεταφέρω ένα κομμάτι:

Ορισμός. Έστω τυχόν επίπεδο και , δυο κάποιες ημιευθείες του, διαφορετικές, με αρχή το ίδιο σημείο και που ανήκουν σε διαφορετικές ευθείες. Το σύστημα δυο τέτοιων ημιευθειών θα το ονομάζουμε γωνία και το συμβολίζουμε έτσι: ή . Οι ημιευθείες ονομάζονται πλευρές της γωνίας και το σημείο κορυφή της γωνίας.

Η πλήρης γωνία και η ευθεία γωνία δεν συμπεριλαμβάνονται σε αυτόν τον ορισμό.

Έστω η ημιευθεία ανήκει στην ευθεία και η ημιευθεία στην ευθεία . Οι ημιευθείες μαζί με το σημείο διαμερίζουν το επίπεδο σε δυο περιοχές: η μία περιοχή αποτελείται από σημεία, τα οποία κείτονται ως προς την στην ίδια πλευρά με την και ως προς την στην ίδια πλευρά με την . Για αυτά λέμε ότι βρίσκονται στο εσωτερικό της γωνίας . Για τα υπόλοιπα σημεία λέμε ότι βρίσκονται εκτός αυτής της γωνίας.

Με βάση τα αξιώματα (των ομάδων) Ι και ΙΙ είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι και οι δυο περιοχές περιέχουν σημεία και ότι, ενα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δυο εσωτερικά σημεία της γωνίας, εξ ολοκλήρου βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας. Παρομοίως εύκολα μπορούν να αποδειχτούν τα ακόλουθα θεωρήματα:

Το τμήμα που ενώνει το σημείο , που βρίσκεται στην , με το σημείο , που βρίσκεται στην , εξ ολοκλήρου βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας .

Ημιευθεία με αρχή το σημείο , είτε εξ ολοκλήρου βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας , είτε εξ ολοκλήρους βρίσκεται εκτός αυτής.

Ημιευθεία που βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας , τέμνει το τμήμα .

Αν ένα σημείο της μια ς περιοχής και σημείο της άλλης περιοχής, τότε οποιαδήποτε τεθλασμένη (του επιπέδου της γωνίας) που ενώνει τα δυο σημεία και , είτε θα διέρχεται από το σημείο , είτε θα έχει κοινό σημείο με την , είτε με την .

Αν σημεία της ίδιας περιοχής, τότε πάντα (στο επίπεδο της γωνίας) υπάρχει τεθλασμένη, που ενώνει τo σημείo με το σημείο και δεν διέρχεται ούτε από το , ούτε από κανένα σημείο των ημιευθειών .


O Hilbert δεν δίνει την απόδειξη των παραπάνω θεωρήματων καθώς τις θεωρεί εύκολες . Για εμάς τους κοινούς θνητούς έχουν μια άλφα δυσκολία. Στην ουσία για να απαντηθεί το ερώτημα του Ιάσωνα χρειαζόμαστε την απόδειξη του πρώτου και τρίτου θεωρήματος παραπάνω. Αν βρω χρόνο τις επόμενες μέρες θα μεταφέρω τις αποδείξεις αυτών.

[george visvikis]

Άλλη μία προσπάθεια μετά την παρέμβαση του Αλέξανδρου.

Μια άδικη άσκηση.png (12.05 KiB) Προβλήθηκε 301 φορές

Έστω Επί της θεωρώ σημείο ώστε και έστω το μέσο του Τα τρίγωνα

είναι ίσα (Π-Π-Π,) άρα δηλαδή η είναι διχοτόμος της και κείται στο

εσωτερικό της. Επομένως, η τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα

Ανάλογα εργαζόμαστε αν ενώ αν η διχοτόμος συμπίπτει με τη διάμεσο.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Άλλη μία προσπάθεια μετά την παρέμβαση του Αλέξανδρου. Μια άδικη άσκηση.png
Έστω Επί της θεωρώ σημείο ώστε και έστω το μέσο του Τα τρίγωνα

είναι ίσα (Π-Π-Π,) άρα δηλαδή η είναι διχοτόμος της και κείται στο

εσωτερικό της. Επομένως, η τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα

Ανάλογα εργαζόμαστε αν ενώ αν η διχοτόμος συμπίπτει με τη διάμεσο.

Για σου Γιώργο.
Το ότι η ΑΝ τέμνει την BC δεν είναι άμεσο. Προκύπτει από το αξίωμα του Pasch.
H απόδειξη είναι σωστή αρκεί να μπορεί να αποδειχθεί το Π-Π-Π χωρίς να γίνει χρήση του ζητουμένου.

Γενικά σε τέτοια θέματα είναι εύκολο να γίνει κύκλος.
Μια απόδειξη είναι σίγουρα εντάξει αν στηρίζεται σε αξιώματα μόνο, αλλά τότε θα είναι πολύ-πολύ μακροσκελής.
Στην αντίθετη περίπτωση πρέπει να αναφερθεί κείμενο στο οποίο έχουμε τις προτάσεις στην σειρά.
Συνήθως σε τέτοια κείμενα το ζητούμενο αποδεικνύεται.
Για να πάρει κάποιος μια γεύση αρκεί να διαβάσει το βιβλίο του Ιωαννίδη Γεωμετρία 1970.
https://drive.google.com/file/d/1Ar3_CT ... ykdZT/view
Εκει δεν ξεφεύγει τίποτα.
Και κάτι ακόμα.
Υπάρχουν πολλά αξιώματικά συστήματα της Γεωμετρίας. Πρέπει να ξέρουμε σε ποίο σύστημα δουλεύουμε.

[Al.Koutsouridis]

Το τμήμα που ενώνει το σημείο , που βρίσκεται στην , με το σημείο , που βρίσκεται στην , εξ ολοκλήρου βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας .

Έστω ένα κάποιο σημείο της ημιευθείας και της ημιευθείας . Παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο του τμήματος . Εφόσον το σημείο βρίσκεται μεταξύ των σημείων , τότε το σημείο δε βρίσκεται στο τμήμα και το σημείο δεν βρίσκεται στο τμήμα . Οπότε τα σημεία βρίσκονται στην ίδια πλευρά ως προς την ευθεία , δηλαδή το σημείο βρίσκεται στην ίδια πλευρά της ευθείας με την ημιευθεία . Ομοίως προκύπτει, ότι το σημείο βρίσκεται στην ίδια πλευρά της ευθείας με την ημιευθεία . Συνεπώς το βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας .

Διαλέγουμε τέτοιο σημείο , ώστε το να βρίσκεται μεταξύ των και . Τα σημεία και βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές της ευθείας , δηλαδή το σημείο και η ημιευθεία βρίσκονται σε διαδορετικές πλευρές της ευθείας και επομένος το σημείο βρίσκεται στο εξωτερικό της γωνίας . Δηλαδή έχει αποδειχθεί η εξής πρόταση:

Αν και σημεία των πλευρών της γωνίας , τότε τα σημεία της ευθείας , που βρίσκονται μεταξύ των βρίσκονται στο εσωτερικό της γωνίας και τα σημεία που βρίσκονται εκτός του τμήματος βρίσκονται εκτός της γωνίας .

Ημιευθεία που βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας , τέμνει το τμήμα .

Έστω κάποιο τυχόν σημείο της ευθείας , αλλά να μην ανήκει στην ημιευθεία και διαφορετικό του (βλέπε σχήμα). Η ευθεία τέμνει την πλευρά του τριγώνου , χωρίς να διέρχεται μάλιστα από τις κορυφές του. Συνεπώς, θα πρέπει να τέμνει και μια άλλη πλευρά του, είτε την , είτε την . Θα αποδείξουμε ότι η ευθεία δεν μπορεί να τέμνει την πλευρά . Το σημείο της ευθείας βρίκσκεται μεταξύ των και , δηλαδή το σημείο και τα σημεία της ημιευθείας βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές της ευθείας . Έστω τυχόν σημείο του τμήματος . Η ευθεία τέμενεται με την ευθεία στο σημείο , που δεν βρίσκεται στο τμήμα . Οπότε το σημείο βρίσκεται στην ίδια πλευρά της ευθείας όπως και το σημείο . Δηλαδή:

1) Το σημείο και η ημιευθεία βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές της ευθείας .

Από την άλλη το σημείο , στο οποίο η ευθεία τέμνει την , βρίσκεται εκτός του τμήματος , οπότε:

2) Το σημείο βρίσκεται στην ίδια πλευρά ως προς την ευθεία , όπως και το σημείο , δηλαδή στην ίδια πλευρά που βρίσκεται και η ημιευθεία .

Η ευθεία αποτελείται από την ημιευθεία και την συμπληρωματική της ημιευεθία . Η ημιυεθεία βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας , επομένως και στην ίδια πλευρά ως προς την όπως και η ημειυεθία . Οπότε η ημιευθεία δεν μπορεί να περιέχει σημειά του τμήματος (πρώτος ισχυρισμός). Η ημιευθεία βρίσκεται σε διαφορετικές πλευρές ως προς την ευθεία με την ημιευθεία . Και εφόσον η ημιευθεία ως εσωτερική της γωνίας, βρίσκεται στην ίδια πλευρά ως προς την όπως και η , τότε η βρίσκεται στην άλλη πλευρά της . Οπότε ούτε η ημιευθεία μπορεί να περιέχει σημεία του τμήματος (δεύτερος ισχυρισμός). Επομένως η ευθεία δεν μπορεί να τμήσει το τμήμα , άρα θα πρέπει να τμήσει το τμήμα . Εξάλλου το σημείο τομής ανήκει ακριβώς στην ημιευθεία (και όχι την ), καθώς το τμήμα βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας (πρώτο θεώρημα παραπάνω).

geogebra-export.png (104.61 KiB) Προβλήθηκε 258 φορές

[Al.Koutsouridis]

Για σου Γιώργο.
Το ότι η ΑΝ τέμνει την BC δεν είναι άμεσο. Προκύπτει από το αξίωμα του Pasch.
H απόδειξη είναι σωστή αρκεί να μπορεί να αποδειχθεί το Π-Π-Π χωρίς να γίνει χρήση του ζητουμένου.

Γενικά σε τέτοια θέματα είναι εύκολο να γίνει κύκλος.
Μια απόδειξη είναι σίγουρα εντάξει αν στηρίζεται σε αξιώματα μόνο, αλλά τότε θα είναι πολύ-πολύ μακροσκελής.
Στην αντίθετη περίπτωση πρέπει να αναφερθεί κείμενο στο οποίο έχουμε τις προτάσεις στην σειρά.
Συνήθως σε τέτοια κείμενα το ζητούμενο αποδεικνύεται.
Για να πάρει κάποιος μια γεύση αρκεί να διαβάσει το βιβλίο του Ιωαννίδη Γεωμετρία 1970.
https://drive.google.com/file/d/1Ar3_CT ... ykdZT/view
Εκει δεν ξεφεύγει τίποτα.
Και κάτι ακόμα.
Υπάρχουν πολλά αξιώματικά συστήματα της Γεωμετρίας. Πρέπει να ξέρουμε σε ποίο σύστημα δουλεύουμε.

Σαν σημείωση, στο προαναφερθέν βιβλίο του Ιωαννίδη δίνεται ο ορισμός

Screenshot 2024-09-14 at 21.29.06.png (93.36 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές

Στην ουσία αποφεύγοντας την απόδειξη του θεωρήματος "Ημιευθεία που βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας , τέμνει το τμήμα .", που αναφέρει ο Hilbert και εκφράστηκε σε προηγούμενη ανάρτηση.

[Ιάσων Κωνσταντόπουλος]

Σας ευχαριστώ όλους για τις παρεμβάσεις/ιδέες/τοποθετήσεις!

Πιστεύω ότι είσαι ο πρώτος μαθηματικός στην ιστορία που έχει τέτοιον προβληματισμό

Φανταζόμουν ακριβώς το αντίθετο!

Οι προβληματισμοί αυτοί όμως δεν θα μας αφήσουν να πάμε παρακάτω στη Γεωμετρία.

Συμφωνώ,
όμως...
χωρίς αυτούς τους προβληματισμούς
δεν μπορούμε να πάμε παρακάτω στη μεταγεωμετρία.

Ερώτηση στον θεματοδότη: Επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε κριτήρια ισότητας τριγώνων, ή η απόδειξη πρέπει να βασίζεται μόνο σε αξιώματα;

Ο κύριος Παπαδόπουλος στο ποστ #9 απαντά καλύτερα απ' ό,τι θα απαντούσα εγώ!

Στον τρόπο που αντιλαμβάνομαι, ότι μπορεί να απαντηθεί αυτό το ερώτημα, πρέπει να δοθεί ένα πλαίσιο στο οποίο θα κινηθούμε. Αυτό θα μπορούσε να είναι το αξιώματα και οι ορισμοί από τα "Θεμέλια της γεωμετρίας" του Hilbert.

Γι' αυτό ακριβώς καλείται "άδικη" η άσκηση,
γιατί ζητά να πάρουμε τα πράγματα από την αρχή, χωρίς να ορίζει το πλαίσιο!

O Hilbert δεν δίνει την απόδειξη των παραπάνω θεωρήματων καθώς τις θεωρεί εύκολες . Για εμάς τους κοινούς θνητούς έχουν μια άλφα δυσκολία.

Το να πάρουμε τα Θεμέλια και να συμπληρώσουμε αυτά που παραλείπει ως αυτονόητα ο Hilbert, είναι μια εξαιρετική προσέγγιση.
Αξίζει να σημειωθεί ότι στο πλαίσιο των Θεμελίων, μεταξύ άλλων, η ύπαρξη της διχοτόμου πρέπει να αποδειχθεί.

[george visvikis]

Άλλη μία προσπάθεια μετά την παρέμβαση του Αλέξανδρου. Μια άδικη άσκηση.png
Έστω Επί της θεωρώ σημείο ώστε και έστω το μέσο του Τα τρίγωνα

είναι ίσα (Π-Π-Π,) άρα δηλαδή η είναι διχοτόμος της και κείται στο

εσωτερικό της. Επομένως, η τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα

Ανάλογα εργαζόμαστε αν ενώ αν η διχοτόμος συμπίπτει με τη διάμεσο.

Για σου Γιώργο.
Το ότι η ΑΝ τέμνει την BC δεν είναι άμεσο. Προκύπτει από το αξίωμα του Pasch.
H απόδειξη είναι σωστή αρκεί να μπορεί να αποδειχθεί το Π-Π-Π χωρίς να γίνει χρήση του ζητουμένου.

Γενικά σε τέτοια θέματα είναι εύκολο να γίνει κύκλος.
Μια απόδειξη είναι σίγουρα εντάξει αν στηρίζεται σε αξιώματα μόνο...

Χρόνια Πολλά Σταύρο!

Το υποψιάστηκα ότι έπρεπε να στηριχτούμε μόνο σε αξιώματα. Γι' αυτό είχα κάνει και την ερώτηση στον θεματοδότη.
Τα πράγματα είναι πάντα δύσκολα όταν θέλουμε να αποδείξουμε αυτά που θεωρούμε αυτονόητα.

[Al.Koutsouridis]

Αξίζει να σημειωθεί ότι στο πλαίσιο των Θεμελίων, μεταξύ άλλων, η ύπαρξη της διχοτόμου πρέπει να αποδειχθεί.

Πράγματι. Στα Θεμέλια σε αυτό γίνεται αναφορά λίγο αργότερα, από ότι τα προαναφερθέντα θεωρήματα. Μεταφέρω τα επίμαχα κομμάτια με την σειρά που εμφανίζονται.

Θεώρημα 11. Σε τρίγωνο με δυο ίσες πλευρές, οι γωνίες απέναντι από αυτές τις πλευρές είναι ίσες ή πιο σύντομα: σε ισοσκελές τρίγωνο οι γωνίες προσκείμενες στην βάση είναι ίσες.
Αυτό το θεώρημα είναι συνέπεια του αξιωμάτος και το τελευταίο μέρος του .

...

Θεώρημα 26. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να διχοτομηθεί.

...

"... άμεση συνέπεια των θεωρήματων 11 και 26 είναι το ακόλουθο γεγονός: κάθε γωνία μπορεί να διχοτομηθεί."