Υποδιάμεσος πλήρους τετραπλεύρου

#1

Μετά από περιπετειώδη συζήτηση κατέληξα στο εξής θεώρημα, ενδεχομένως ... πρωτοεμφανιζόμενο:

Σε πλήρες τετράπλευρο ABEGDO,

όπου

και

οι τομές των BD, GE

και

η διατέμνουσα OFC,

όπου

το μέσον της

και

η τομή της

με την

έχει την εξής ιδιότητα: για κάθε διατέμνουσα APQR,

όπου

τυχόν σημείο επί της BE, R

η τομή της

με την

και

η τομή της APR

με την

ισχύει η ισότητα $\dfrac{RG}{RD}+\dfrac{PE}{PB}=2\cdot \dfrac{QF}{QC}.$

Έχει δηλαδή η υποδιάμεσος OFC

-- "υπερδιαγώνιο" την αποκάλεσα προηγουμένως -- μία υπέροχη ιδιότητα μέσου όρου, ο μέσος όρος των $\dfrac{RG}{RD}$ και $\dfrac{PE}{PB}$ είναι πάντοτε ο $\dfrac{QF}{QC}:$ είναι μία ιδιότητα που δεν την ανέμενα και βεβαίως δεν γνώριζα, και ζήτησα/ζητώ από σας μία συνθετική απόδειξη, καθώς η δική μου βασίζεται σε χρήση Αναλυτικής Γεωμετρίας -- ή φυσικά κάποια αναφορά αν έχετε δει αυτό το θεώρημα (ή και κάτι γενικότερο) κάπου.

[Πρόκειται ουσιαστικά για επαναφορά θέματος, μια και κάποιοι/κάποιες από σας πιθανώς χαθήκατε στην περιπετειώδη συζήτηση που λέγαμε και σας διέφυγε το ως άνω θεώρημα ... που τολμώ να αφιερώσω απόψε στην μνήμη του μεγάλου Θεόδωρου Καζαντζή, που μας αποχαιρέτησε πρόωρα πριν 25 ακριβώς χρόνια. (Είμαστε ήδη στις 9/9/24 καθώς γράφω αυτές τις γραμμές, και έτυχε να το(ν) σκεφτώ.) Αν και πάλι δεν προκύψει κάτι ... θ' αρχίσω πάλι να κατεβάζω ΜενελαοΣεβάδες

]

: υποδιάμεσος-πλήρους-τετραπλεύρου.png (22.19 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές

#2

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 09, 2024 12:31 am
Μετά από περιπετειώδη συζήτηση κατέληξα στο εξής θεώρημα, ενδεχομένως ... πρωτοεμφανιζόμενο:

Σε πλήρες τετράπλευρο όπου και οι τομές των και η διατέμνουσα όπου το μέσον της και η τομή της με την έχει την εξής ιδιότητα: για κάθε διατέμνουσα όπου τυχόν σημείο επί της η τομή της με την και η τομή της με την ισχύει η ισότητα $\dfrac{RG}{RD}+\dfrac{PE}{PB}=2\cdot \dfrac{QF}{QC}.$

Έχει δηλαδή η υποδιάμεσος -- "υπερδιαγώνιο" την αποκάλεσα προηγουμένως -- μία υπέροχη ιδιότητα μέσου όρου, ο μέσος όρος των $\dfrac{RG}{RD}$ και $\dfrac{PE}{PB}$ είναι πάντοτε ο $\dfrac{QF}{QC}:$ είναι μία ιδιότητα που δεν την ανέμενα και βεβαίως δεν γνώριζα, και ζήτησα/ζητώ από σας μία συνθετική απόδειξη, καθώς η δική μου βασίζεται σε χρήση Αναλυτικής Γεωμετρίας -- ή φυσικά κάποια αναφορά αν έχετε δει αυτό το θεώρημα (ή και κάτι γενικότερο) κάπου.

[Πρόκειται ουσιαστικά για επαναφορά θέματος, μια και κάποιοι/κάποιες από σας πιθανώς χαθήκατε στην περιπετειώδη συζήτηση που λέγαμε και σας διέφυγε το ως άνω θεώρημα ... που τολμώ να αφιερώσω απόψε στην μνήμη του μεγάλου Θεόδωρου Καζαντζή, που μας αποχαιρέτησε πρόωρα πριν 25 ακριβώς χρόνια. (Είμαστε ήδη στις 9/9/24 καθώς γράφω αυτές τις γραμμές, και έτυχε να το(ν) σκεφτώ.) Αν και πάλι δεν προκύψει κάτι ... θ' αρχίσω πάλι να κατεβάζω ΜενελαοΣεβάδες ]

υποδιάμεσος-πλήρους-τετραπλεύρου.png

Καλησπέρα Γιώργο από Βρυξέλλες μεριά

Στο σχήμα του Γιώργου

Θα λύσω το πρόβλημα για

εσωτερικό σημείο της

(γενικότερα)

$\bullet$ Οι δέσμες O.ABCD,A.OGRD

τεμνόμενες σχηματίζουν στις ακτίνες τους ίσους διπλούς λόγους, δηλαδή $\dfrac{OE}{PE}:\dfrac{OB}{PB}=\dfrac{OF}{QF}:\dfrac{OC}{QC}=\dfrac{OG}{RG}:\dfrac{OD}{RD}\Rightarrow \ldots \dfrac{PE}{PB}=\dfrac{OE}{OB}\cdot \dfrac{OC}{OQ}\cdot \dfrac{QF}{QC}:\left( 1 \right)$ και

$\dfrac{OF}{QF}:\dfrac{OC}{QC}=\dfrac{OG}{RG}:\dfrac{OD}{RD}\Rightarrow \ldots \dfrac{RG}{RD}=\dfrac{OG}{OD}\cdot \dfrac{OC}{OF}\cdot \dfrac{QF}{QC}:\left( 2 \right)$

Με πρόσθεση των σχέσεων $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ προκύπτει $\dfrac{PE}{PB}+\dfrac{RG}{RD}=\left( \dfrac{OE}{OB}\cdot \dfrac{OC}{OQ}+\dfrac{OG}{OD}\cdot \dfrac{OC}{OF} \right)\cdot \dfrac{QF}{QC}:\left( 3 \right)$ . Ας είναι γενικότερα $\dfrac{EG}{EF}=\ell$
$\bullet$

Από το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle AGD$ με διατέμνουσα την OEB

θα έχουμε:
$\dfrac{EG}{EA}\cdot \dfrac{BA}{BD}\cdot \dfrac{OD}{OG}=1:\left( 4 \right)$ , ομοίως από το ίδιο θεώρημα στο τρίγωνο $\vartriangle AFC$ με διατέμνουσα την OEB

θα έχουμε: $\dfrac{EF}{EA}\cdot \dfrac{BA}{BC}\cdot \dfrac{OC}{OF}=1:\left( 5 \right)$

Με διαίρεση των μελών των $\left( 4 \right),\left( 5 \right)$ και με $\dfrac{EG}{EF}=\ell$ έχουμε: $\ell \cdot \dfrac{OD}{OC}\cdot \dfrac{OF}{OG}\cdot \dfrac{BC}{BD}=1\Rightarrow \dfrac{OG}{OD}\cdot \dfrac{OC}{OF}=\dfrac{BC}{BD}\cdot \ell :\left( 6 \right)$

$\bullet$ Με ακριβώς όμοιο τρόπο εφαρμόζοντας το θεώρημα του Μενελάου στα τρίγωνα $\vartriangle AGR$ με διατέμνουσα OEP

και $\vartriangle AFQ$ με διατέμνουσα OEP

προκύπτει ότι $\dfrac{OE}{OB}\cdot \dfrac{OC}{OQ}=\dfrac{CD}{BD}\cdot \ell :\left( 7 \right)$

Από $\left( 6 \right),\left( 7 \right)\overset{\left( 3 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{PE}{PB}+\dfrac{RG}{RD}=\left( \dfrac{BC}{BD}\cdot \ell +\dfrac{CD}{BD}\cdot \ell \right)\cdot \dfrac{QF}{QC}$
$=\dfrac{BC+CD}{BD}\cdot \dfrac{QF}{QC}\cdot \ell \overset{BC+CD=BD}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{PE}{PB}+\dfrac{RG}{RD}=\dfrac{QF}{QC}\cdot \ell$
$\bullet$ Για την ειδική περίπτωση του Γιώργου θα έχουμε $\ell =2$ (αφού το

είναι το μέσο της

) οπότε $\dfrac{PE}{PB}+\dfrac{RG}{RD}=2\dfrac{QF}{QC}$

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι αν το

είναι εξωτερικό σημείο της

και είναι $\dfrac{EG}{EF}=\ell$ τότε ισχύει (αν σκέφτομαι καλά) ότι $\left| \dfrac{PE}{PB}-\dfrac{RG}{RD} \right|=\dfrac{QF}{QC}\cdot \ell$

Σχόλιο: Δεν γνωρίζω την ύπαρξη αυτού του θεωρήματος (θεωρώ όμως ότι θα είναι γνωστό και πρέπει να ενταχθεί (αν δεν είναι) στα θεωρήματα των διπλών λόγων))

Με όλη μου την εκτίμηση
Στάθης Κούτρας

#3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 09, 2024 3:32 pm

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 09, 2024 12:31 am
Μετά από περιπετειώδη συζήτηση κατέληξα στο εξής θεώρημα, ενδεχομένως ... πρωτοεμφανιζόμενο:

Σε πλήρες τετράπλευρο όπου και οι τομές των και η διατέμνουσα όπου το μέσον της και η τομή της με την έχει την εξής ιδιότητα: για κάθε διατέμνουσα όπου τυχόν σημείο επί της η τομή της με την και η τομή της με την ισχύει η ισότητα $\dfrac{RG}{RD}+\dfrac{PE}{PB}=2\cdot \dfrac{QF}{QC}.$

Έχει δηλαδή η υποδιάμεσος -- "υπερδιαγώνιο" την αποκάλεσα προηγουμένως -- μία υπέροχη ιδιότητα μέσου όρου, ο μέσος όρος των $\dfrac{RG}{RD}$ και $\dfrac{PE}{PB}$ είναι πάντοτε ο $\dfrac{QF}{QC}:$ είναι μία ιδιότητα που δεν την ανέμενα και βεβαίως δεν γνώριζα, και ζήτησα/ζητώ από σας μία συνθετική απόδειξη, καθώς η δική μου βασίζεται σε χρήση Αναλυτικής Γεωμετρίας -- ή φυσικά κάποια αναφορά αν έχετε δει αυτό το θεώρημα (ή και κάτι γενικότερο) κάπου.

[Πρόκειται ουσιαστικά για επαναφορά θέματος, μια και κάποιοι/κάποιες από σας πιθανώς χαθήκατε στην περιπετειώδη συζήτηση που λέγαμε και σας διέφυγε το ως άνω θεώρημα ... που τολμώ να αφιερώσω απόψε στην μνήμη του μεγάλου Θεόδωρου Καζαντζή, που μας αποχαιρέτησε πρόωρα πριν 25 ακριβώς χρόνια. (Είμαστε ήδη στις 9/9/24 καθώς γράφω αυτές τις γραμμές, και έτυχε να το(ν) σκεφτώ.) Αν και πάλι δεν προκύψει κάτι ... θ' αρχίσω πάλι να κατεβάζω ΜενελαοΣεβάδες ]

υποδιάμεσος-πλήρους-τετραπλεύρου.png
Καλησπέρα Γιώργο από Βρυξέλλες μεριά

Στο σχήμα του Γιώργου

Θα λύσω το πρόβλημα για εσωτερικό σημείο της (γενικότερα)

$\bullet$ Οι δέσμες τεμνόμενες σχηματίζουν στις ακτίνες τους ίσους διπλούς λόγους, δηλαδή $\dfrac{OE}{PE}:\dfrac{OB}{PB}=\dfrac{OF}{QF}:\dfrac{OC}{QC}=\dfrac{OG}{RG}:\dfrac{OD}{RD}\Rightarrow \ldots \dfrac{PE}{PB}=\dfrac{OE}{OB}\cdot \dfrac{OC}{OQ}\cdot \dfrac{QF}{QC}:\left( 1 \right)$ και

$\dfrac{OF}{QF}:\dfrac{OC}{QC}=\dfrac{OG}{RG}:\dfrac{OD}{RD}\Rightarrow \ldots \dfrac{RG}{RD}=\dfrac{OG}{OD}\cdot \dfrac{OC}{OF}\cdot \dfrac{QF}{QC}:\left( 2 \right)$

Με πρόσθεση των σχέσεων $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ προκύπτει $\dfrac{PE}{PB}+\dfrac{RG}{RD}=\left( \dfrac{OE}{OB}\cdot \dfrac{OC}{OQ}+\dfrac{OG}{OD}\cdot \dfrac{OC}{OF} \right)\cdot \dfrac{QF}{QC}:\left( 3 \right)$ . Ας είναι γενικότερα $\dfrac{EG}{EF}=\ell$
$\bullet$

Από το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle AGD$ με διατέμνουσα την θα έχουμε:
$\dfrac{EG}{EA}\cdot \dfrac{BA}{BD}\cdot \dfrac{OD}{OG}=1:\left( 4 \right)$ , ομοίως από το ίδιο θεώρημα στο τρίγωνο $\vartriangle AFC$ με διατέμνουσα την θα έχουμε: $\dfrac{EF}{EA}\cdot \dfrac{BA}{BC}\cdot \dfrac{OC}{OF}=1:\left( 5 \right)$

Με διαίρεση των μελών των $\left( 4 \right),\left( 5 \right)$ και με $\dfrac{EG}{EF}=\ell$ έχουμε: $\ell \cdot \dfrac{OD}{OC}\cdot \dfrac{OF}{OG}\cdot \dfrac{BC}{BD}=1\Rightarrow \dfrac{OG}{OD}\cdot \dfrac{OC}{OF}=\dfrac{BC}{BD}\cdot \ell :\left( 6 \right)$

$\bullet$ Με ακριβώς όμοιο τρόπο εφαρμόζοντας το θεώρημα του Μενελάου στα τρίγωνα $\vartriangle AGR$ με διατέμνουσα και $\vartriangle AFQ$ με διατέμνουσα προκύπτει ότι $\dfrac{OE}{OB}\cdot \dfrac{OC}{OQ}=\dfrac{CD}{BD}\cdot \ell :\left( 7 \right)$

Από $\left( 6 \right),\left( 7 \right)\overset{\left( 3 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{PE}{PB}+\dfrac{RG}{RD}=\left( \dfrac{BC}{BD}\cdot \ell +\dfrac{CD}{BD}\cdot \ell \right)\cdot \dfrac{QF}{QC}$
$=\dfrac{BC+CD}{BD}\cdot \dfrac{QF}{QC}\cdot \ell \overset{BC+CD=BD}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{PE}{PB}+\dfrac{RG}{RD}=\dfrac{QF}{QC}\cdot \ell$
$\bullet$ Για την ειδική περίπτωση του Γιώργου θα έχουμε $\ell =2$ (αφού το είναι το μέσο της ) οπότε $\dfrac{PE}{PB}+\dfrac{RG}{RD}=2\dfrac{QF}{QC}$

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι αν το είναι εξωτερικό σημείο της και είναι $\dfrac{EG}{EF}=\ell$ τότε ισχύει (αν σκέφτομαι καλά) ότι $\left| \dfrac{PE}{PB}-\dfrac{RG}{RD} \right|=\dfrac{QF}{QC}\cdot \ell$

Σχόλιο: Δεν γνωρίζω την ύπαρξη αυτού του θεωρήματος (θεωρώ όμως ότι θα είναι γνωστό και πρέπει να ενταχθεί (αν δεν είναι) στα θεωρήματα των διπλών λόγων))

Με όλη μου την εκτίμηση
Στάθης Κούτρας

Στάθη είμαι ευγνώμων και για την απόδειξη και για την γενίκευση! Όσον αφορά την τελευταία, παρατηρώ ότι το $\ell$ στην $\dfrac{EG}{EF}=\ell$ πρέπει να είναι προσημασμένο για να δηλώνει προσανατολισμό (θετικό αν τα G, F

βρίσκονται αμφότερα στα δεξιά του

αρνητικό αλλιώς), ενώ ο σωστός τύπος πιστεύω πως είναι

$\displaystyle \left|\dfrac{1}{\ell}\cdot\dfrac{RG}{RD}+\left(1-\dfrac{1}{\ell}\right)\cdot\dfrac{PE}{PB}\right|=\dfrac{QF}{QC}$

Τον τύπο αυτόν επαληθεύουν -- 'προσεγγιστικώς' -- τα παραδείγματα υποτεμνουσών OFC

και υπερτεμνουσών OCF

που παραθέτω στο συνημμένο. (Ναι, μπορεί να προκύψει και αρνητική ποσότητα εντός της απολύτου τιμής ... εκτός του συνημένου όμως

) Προκύπτει από τους τύπους που παρέθεσα προ μηνός, συν τους ευνόητους f=tg+(1-t)e

(όπου

οι τετμημένες των F, G, E

) και $m=\dfrac{(vg-ue)f+ge(u-v)}{(g-e)f}$ (συντελεστης διεύθυνσης της

).

: υποτέμνουσες-υπερτέμνουσες.png (54.04 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές

Υποδιάμεσος πλήρους τετραπλεύρου

Υποδιάμεσος πλήρους τετραπλεύρου

Re: Υποδιάμεσος πλήρους τετραπλεύρου

Re: Υποδιάμεσος πλήρους τετραπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση