Όγκος τετραέδρου

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4471
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Όγκος τετραέδρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Ιουν 16, 2024 7:54 pm

Όταν έκανα μάθημα ζητούσα από τους μαθητές μου να μην παραβλέπουν την αξία του τύπου E=\frac{1}{2}\beta\gamma  \rm{\eta \mu} A για το εμβαδόν τριγώνου.
Να αποδειχθεί ένας αντίστοιχος για το τετράεδρο:

Ο όγκος ενός τετραέδρου είναι ίσος με

\dispalystyle V=\frac{2}{3}\frac{E_{1}E_{2}}{m}\rm{\eta \mu} \varphi

όπου E_{1}, E_{2} είναι τα εμβαδά δύο οποιωνδήποτε εδρών του, m ο μήκος της κοινής ακμής τους και \varphi το μέτρο της δίεδρης γωνίας τους.

Σχόλιο 1. Θεωρώ βέβαιον ότι ο τύπος θα περιέχεται σε κάποια από τις παλιές καλές στερεομετρίες αλλά δεν το έχω ψάξει.
Σχόλιο 2. Ο τύπος παρέχει και ένα τρόπο επίλυσης του θέματος viewtopic.php?f=27&t=75995


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος

Λέξεις Κλειδιά:
Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 114
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm

Re: Όγκος τετραέδρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος » Κυρ Ιουν 16, 2024 10:08 pm

Για \varphi=\angle EFD έχουμε

(ABE)=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot EF \Rightarrow EF=\frac{2(ABE)}{AB}\ (1)

V=\frac{1}{3}\cdot(ABC)\cdot ED =\frac{1}{3}\cdot(ABC)\cdot EF\cdot\sin\varphi\ (2)

Αντικαθιστώντας στη (2) την (1) βρίσκουμε

V=\frac{2}{3}\cdot \frac{(ABC)\cdot(ABE)}{AB}\cdot\sin\varphi \ \blacksquare
Συνημμένα
3d_volume.png
3d_volume.png (63.96 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές


Ιάσων Κωνσταντόπουλος
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1317
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Όγκος τετραέδρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τρί Ιουν 18, 2024 9:10 pm

Πολύ χρήσιμος τύπος...


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1832
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Όγκος τετραέδρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Ιουν 21, 2024 11:58 am

nsmavrogiannis έγραψε:
Κυρ Ιουν 16, 2024 7:54 pm
Όταν έκανα μάθημα ζητούσα από τους μαθητές μου να μην παραβλέπουν την αξία του τύπου E=\frac{1}{2}\beta\gamma  \rm{\eta \mu} A για το εμβαδόν τριγώνου.
Να αποδειχθεί ένας αντίστοιχος για το τετράεδρο:

Ο όγκος ενός τετραέδρου είναι ίσος με

\dispalystyle V=\frac{2}{3}\frac{E_{1}E_{2}}{m}\rm{\eta \mu} \varphi

όπου E_{1}, E_{2} είναι τα εμβαδά δύο οποιωνδήποτε εδρών του, m ο μήκος της κοινής ακμής τους και \varphi το μέτρο της δίεδρης γωνίας τους.

Σχόλιο 1. Θεωρώ βέβαιον ότι ο τύπος θα περιέχεται σε κάποια από τις παλιές καλές στερεομετρίες αλλά δεν το έχω ψάξει.
Σχόλιο 2. Ο τύπος παρέχει και ένα τρόπο επίλυσης του θέματος viewtopic.php?f=27&t=75995
Από το σχόλιο για τα ημίτονα Staud, που είχαμε δει εδώ ο όγκος ενός τετραέδρου ABCD δίνεται από την σχέση (με (BC) συμβολίζουμε την δίεδρη γωνία στην ακμή BC)

V= \dfrac{1}{6} \cdot BA \cdot BC \cdot BD \cdot \sin \widehat{DBC} \cdot \sin \widehat{ABC} \cdot \sin (BC)

άμεση συνέπεια της οποίας είναι η ζητούμενη σχέση

V= \dfrac{1}{6} \cdot BA \cdot BC \cdot BD \cdot \sin \widehat{DBC} \cdot \sin \widehat{ABC} \cdot \sin (BC)=

= \dfrac{1}{6} \cdot BA \cdot BC \cdot BC \cdot BD \cdot \sin \widehat{DBC} \cdot \sin \widehat{ABC} \cdot \dfrac{\sin (BC)}{BC} =

= \dfrac{1}{6}  \left ( \cdot BA \cdot BC \cdot \sin \widehat{ABC} \right) \left ( BC \cdot BD \cdot \sin \widehat{DBC}\right) \cdot \dfrac{\sin (BC)}{BC} =

= \dfrac{1}{6} \left (  2 S_{ABC} \right) \left ( 2S_{DBC}\right) \cdot \dfrac{\sin (BC)}{BC} =

= \dfrac{2}{3} S_{ABC} \cdot S_{DBC} \cdot \dfrac{\sin (BC)}{BC}


και αντίστοιχα αν θεωρήσουμε τις άλλες κοινές ακμές και δίεδρες γωνίες.

Ο τύπος αυτός αναφέρεται συχνά και ως τύπος του Dostor (Georges Dostor), βλέπε π.χ. εδώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης