Σημείο Lemoine και έγκεντρο

Συντονιστής: gbaloglou

Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 41
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm
Επικοινωνία:

Σημείο Lemoine και έγκεντρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος » Πέμ Απρ 18, 2024 10:06 pm

Δίνεται τρίγωνο \triangle ABC με πλευρές a=BC,b=AC,c=AB
Έστω X_1,X_6 αντίστοιχα το έγκεντρο του τριγώνου και το σημείο τομής των συμμετροδιαμέσων του (σημείο Lemoine).

Αν γνωρίζουμε τα ακόλουθα:
1. a=1
2. από τα X_1,X_6 διέρχεται ευθεία παράλληλη στην πλευρά BC,

να υπολογιστεί η παράσταση \frac{b^2+c^2}{b+c}

Σημείωση
Ο συμβολισμός X_i αναφέρεται στην ταξινόμηση των κέντρων του τριγώνου όπως αυτή λαμβάνει χώρα στην Εγκυκλοπέδια Κέντρων Τριγώνου του Clark Kimberling (https://faculty.evansville.edu/ck6/ency ... a/ETC.html)


Ιάσων Κωνσταντόπουλος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13350
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σημείο Lemoine και έγκεντρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 19, 2024 10:20 am

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε:
Πέμ Απρ 18, 2024 10:06 pm
Δίνεται τρίγωνο \triangle ABC με πλευρές a=BC,b=AC,c=AB
Έστω X_1,X_6 αντίστοιχα το έγκεντρο του τριγώνου και το σημείο τομής των συμμετροδιαμέσων του (σημείο Lemoine).

Αν γνωρίζουμε τα ακόλουθα:
1. a=1
2. από τα X_1,X_6 διέρχεται ευθεία παράλληλη στην πλευρά BC,

να υπολογιστεί η παράσταση \frac{b^2+c^2}{b+c}

Σημείωση
Ο συμβολισμός X_i αναφέρεται στην ταξινόμηση των κέντρων του τριγώνου όπως αυτή λαμβάνει χώρα στην Εγκυκλοπέδια Κέντρων Τριγώνου του Clark Kimberling (https://faculty.evansville.edu/ck6/ency ... a/ETC.html)
Έστω r η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, x η απόσταση του σημείου Lemoine από την BC και E

το εμβαδόν του τριγώνου. Ως γνωστόν \displaystyle x = \frac{{2aE}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} και λόγω της παραλληλίας είναι x=r.

\displaystyle \frac{{2aE}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = r \Leftrightarrow \frac{{a(a + b + c)r}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = r\mathop  \Leftrightarrow \limits^{a = 1} {b^2} + {c^2} = b + c \Leftrightarrow \boxed{\frac{b^2+c^2}{b+c}=1}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες