Εντυπωσιακή διχοτόμος

KARKAR · #1

: Εντυπωσιακή διχοτόμος.png (15.19 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

Στο τετράγωνο ABCD

, το τεταρτοκύκλιο $(D , \overset{\frown}{AC})$ τέμνει τη διαγώνιο

στο σημείο

. Η παράλληλη

από το

προς την

, τέμνει το τεταρτοκύκλιο $(A , \overset{\frown}{BD})$ στο σημείο

. Από σημείο

της προέκτασης

της

, φέρω την εφαπτομένη στο δεύτερο τεταρτοκύκλιο . Για ποια θέση του

, είναι : $\widehat{BPS}=\widehat{QPS}$ ;

#2

Πράγματι εντυπωσιακή (η διχοτόμος):

Θέτουμε A=(0,0), B=(1,0), C=(1,1), D=(0,1), P=(p,0),

οπότε

$T=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\right)$

$S=\left(\dfrac{\sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}, \dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\right)$

$Q=\left(\dfrac{1}{p},\dfrac{\sqrt{p^2-1}}{p}\right)}$

$QP: x+\sqrt{p^2-1}y-p=0$

Για να κείται τώρα το

επί της διχοτόμου πρέπει και αρκεί να ισαπέχει από τις

και

, να ισχύει δηλαδή η

$2-\sqrt{2}=\dfrac{|\sqrt{4\sqrt{2}-2}+(2-\sqrt{2})\sqrt{p^2-1}-2p|}{p}.$

H παραπάνω σπάει -- μέσω ύψωσης στο τετράγωνο -- σε δύο δευτεροβάθμιες υπό συνθήκη,

$(6-2\sqrt{2})p^2-(4-\sqrt{2})\sqrt{4\sqrt{2}-2}p+2=0$ όπου $\sqrt{4\sqrt{2}-2}+(2-\sqrt{2})\sqrt{p^2-1}-2p>0$

και

$(\sqrt{2}-1)p^2-\sqrt{2\sqrt{2}-1}p+1=0$ όπου $\sqrt{4\sqrt{2}-2}+(2-\sqrt{2})\sqrt{p^2-1}-2p<0.$

Η πρώτη δευτεροβάθμια έχει αρνητική διακρίνουσα $4(26\sqrt{2}-37)$ , ενώ η δεύτερη δίνει

$p=\dfrac{\sqrt{2\sqrt{2}-1}+\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{2(\sqrt{2}-1)}\approx2,1322$ και $p=\dfrac{\sqrt{2\sqrt{2}-1}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{2(\sqrt{2}-1)}\approx1,1322.$

H πρώτη λύση είναι αυτή ακριβώς που δίνει και το WolframAlpha: ναι, η συνημμένη τερατωδώς πολύπλοκη λύση του λογισμικού είναι η ίδια μ' αυτήν που βλέπετε παραπάνω, καθώς και οι δύο είναι ίσες περίπου με 2,1322.

Επίσης ταιριάζει η πρώτη λύση με το σχήμα-λύση του Θανάση.

Η δεύτερη λύση απορρίπτεται και από την γεωμετρική εποπτεία και από το WolframAlpha (που δίνει την πρώτη λύση και μόνον αυτήν), δεν βλέπω όμως προφανή λόγο αποκλεισμού με την δική μου προσέγγιση ... καθώς, έστω και οριακά, η ανισοτική συνθήκη που πρέπει να ισχύει ... ισχύει! (Έχει διπλή ρίζα η $\sqrt{4\sqrt{2}-2}+(2-\sqrt{2})\sqrt{p^2-1}-2p,$ παρεμπιπτόντως ... και είναι μονίμως αρνητική πέραν αυτής

)Υποθέτω ότι έχουμε το γνωστό πρόβλημα ύψωσης στο τετράγωνο που επιτρέπει σε παρείσακτες ρίζες να παρεισφρήσουν...

[Αυτό το πρόβλημα κατατρόπωσε και εμένα και το λογισμικό!]

: εντυπωσιακή-διχοτόμος.png (91.26 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές

KARKAR · #3

: Εντυπωσιακή γωνία.png (20.47 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές

Το πιο εντυπωσιακό είναι ότι : $\widehat{SAQ}=45^0$ . Το σχήμα έχει τα χάλια του , διότι πήρα

AB=2

, έτσι ώστε να γίνουν πιο εύχρηστες οι συντεταγμένες των σημείων .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 02, 2023 8:42 am
Εντυπωσιακή γωνία.pngΤο πιο εντυπωσιακό είναι ότι : $\widehat{SAQ}=45^0$ . Το σχήμα έχει τα χάλια του , διότι πήρα

, έτσι ώστε να γίνουν πιο εύχρηστες οι συντεταγμένες των σημείων .

Με τις δικές μου συντεταγμένες και Νόμο Συνημιτόνων στο QAS

, η επιθυμητή $QS^2=2-\sqrt{2}$ βγαίνει ισοδύναμη προς την δεύτερη εξίσωση μου (που δίνει και την $p\approx 2,1322$ ).

#5

Ως απόρροια συζήτησης (ΦΒ) πρόσφατου 'συγγενούς' προβλήματος με τον Μιχάλη Νικολάου προέκυψε το εξής αξιοπερίεργο: αν αφαιρέσουμε εξ αρχής την απόλυτη τιμή -- ειδικά επειδή η εντός αυτής ποσότητα είναι μονίμως μη θετική (όπως επισημάνθηκε παραπάνω) -- τότε το WolframAlpha δεν έχει καμιά δυσκολία να επιλύσει το πρόβλημα, δίνοντας μάλιστα απλό σχετικά τύπο για το $p\approx 2,1322$ (βλέπετε συνημμένο)!

[Γιατί αξιοπερίεργο; Μα την στιγμή που το WolframAlpha κάνει 'πράματα και θάματα' ... τόσο δύσκολο θα του ήταν να αφαιρέσει την απόλυτη τιμή -- διακρίνοντας στην σνάγκη δύο περιπτώσεις (όπως έκανα κι εγώ παραπάνω) -- και να αποφύγει τις οδυνηρές περιπέτειες που είδαμε;;;]

: 386254225_10161436782676155_8281994355480834721_n.jpg (54.17 KiB) Προβλήθηκε 297 φορές

Εντυπωσιακή διχοτόμος

Εντυπωσιακή διχοτόμος

Re: Εντυπωσιακή διχοτόμος

Re: Εντυπωσιακή διχοτόμος

Re: Εντυπωσιακή διχοτόμος

Re: Εντυπωσιακή διχοτόμος

Μέλη σε σύνδεση