mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 20, 2023 5:51 pm**

: max.png (27.99 KiB) Προβλήθηκε 1031 φορές

Σε σημείο

του τεταρτοκυκλίου , φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα

. Υπολογίστε το $(BTS)_{max}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 20, 2023 7:11 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 20, 2023 5:51 pm
max.pngΣε σημείο του τεταρτοκυκλίου , φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε το $(BTS)_{max}$ .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle (BTS) = \frac{{ST \cdot BD}}{2} = \frac{{BD\sqrt {{x^2} + 10x} }}{2}$

: Αιματοβαμμένο μέγιστο.png (35.72 KiB) Προβλήθηκε 1008 φορές

Αλλά, από τα όμοια τρίγωνα EBD, EOT

και

είναι:

$\displaystyle BD = \frac{{5y}}{{y + 5}} = \frac{{y(x + 5)}}{{ES}} \Leftrightarrow \frac{5}{{y + 5}} = \frac{{x + 5}}{{\sqrt {{{(x + 5)}^2} + {{(y + 5)}^2}} }}$ και με απαλοιφή του

καταλήγω στον

τελικό τύπο $\displaystyle (BTS) = \frac{{5\sqrt {{x^2} + 10x} \left( {x + 5 - \sqrt {{x^2} + 10x} } \right)}}{{2(x + 5)}},$ απ' όπου παίρνω την προσεγγιστική λύση

$\boxed{{(BTS)_{\max }} \simeq 3,7535}$ όταν $\boxed{x\simeq 1,3601}$

Γιατί αιματοβαμμένο;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 20, 2023 7:53 pm**

Kαλησπέρα σε όλους. (Αιματοβαμμένο ;;;)

: max.png (27.99 KiB) Προβλήθηκε 994 φορές

Έστω $\displaystyle T\left( {5\sigma \upsilon \nu \varphi ,5\eta \mu \varphi } \right),\;0 < \varphi < \frac{\pi }{2}$

$\displaystyle TS:\;\sigma \upsilon \nu \varphi \cdot x + \eta \mu \varphi \cdot y = 5$ , οπότε $\displaystyle S\left( {\frac{5}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }},0} \right)$

B(0,5)

, άρα $\displaystyle \left( {BTS} \right) = \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\overrightarrow {BT} ,\;\overrightarrow {BS} } \right)} \right| = \frac{1}{2} \cdot |\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {5\sigma \upsilon \nu \varphi }&{5\eta \mu \varphi - 5}\\ {\frac{5}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }}}&{ - 5} \end{array}} \right|\;|\, =$

$\displaystyle = \frac{{25}}{2} \cdot \left| {\frac{1}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} - \sigma \upsilon \nu \varphi - \varepsilon \varphi \varphi } \right| = \left| {\frac{{\eta {\mu ^2}\varphi - \eta \mu \varphi }}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }}} \right| = \frac{{\eta \mu \varphi - \eta {\mu ^2}\varphi }}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }}$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( \varphi \right) = \frac{{\eta \mu \varphi - \eta {\mu ^2}\varphi }}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }},\;\;0 < \varphi < \frac{\pi }{2}$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( \varphi \right) = \frac{{\eta {\mu ^3}\varphi - 2\eta \mu \varphi + 1}}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }}$ .

Με λογισμικό, βρίσκω μέγιστο για $\displaystyle \varphi \cong 0,666$ (μπρρρ) με τιμή $\displaystyle {\left( {BTS} \right)_{\max }} \cong \frac{{25}}{2} \cdot 0,3003 = 3,75375$

edit: Εφόσον ο αγαπητός Γιώργος έχει βρει σχεδόν ίδιο αποτέλεσμα από άλλον δρόμο, παραλείπω την επαλήθευση.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 21, 2023 10:17 am**

Στην ουσία έχουμε την ίδια απάντηση με το Γιώργο (Γεια σου Γιώργο) . Όλα εξαρτώνται, από την προσέγγιση

που παίρνουμε. Να πω εδώ ότι η ακριβής λύση είναι $\boxed{{(BTS)_{\max }} = \frac{{25}}{4}\sqrt {10\sqrt 5 - 22} }$

Στη λύση μου είναι $\displaystyle x = \frac{5}{2}\left( {\sqrt {2(1 + \sqrt 5 )} - 2} \right)$ ενώ στη λύση του Γιώργου , $\displaystyle \eta \mu \varphi = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}$

ΥΓ. Εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω τον τίτλο.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 22, 2023 4:41 pm**

Παρατήρηση : Στη λύση Βισβίκη είναι : $x=5(\sqrt{\phi}-1)$ και στη λύση Ρίζου είναι : $\sin\varphi=\dfrac{1}{\phi}$ ( ακόμα πιο εντυπωσιακό ) .

Αιματοβαμμένο λοιπόν , διότι για να βρεθεί χωρίς λογισμικό , πρέπει να "φτύσεις αίμα"

mathematica.gr

Αιματοβαμμένο μέγιστο

Αιματοβαμμένο μέγιστο

Re: Αιματοβαμμένο μέγιστο

Re: Αιματοβαμμένο μέγιστο

Re: Αιματοβαμμένο μέγιστο

Re: Αιματοβαμμένο μέγιστο