mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 16, 2023 8:24 am**

: Η αδύνατη ισότητα.png (7.08 KiB) Προβλήθηκε 1059 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, με :

, η

είναι διχοτόμος , ενώ το

είναι σημείο της

,

τέτοιο ώστε : AB+BS=AC+CS

. Υπάρχει περίπτωση να είναι : BD=CS

;

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 16, 2023 8:32 am**

Καλημέρα.

Είναι γνωστό $\displaystyle BD=\frac{ac}{b+c}.$ Επιπλέον, $\displaystyle BS-CS=2BS-a=b-c\Leftrightarrow BS=\frac{a+b-c}{2}.$

Πρέπει $\displaystyle\frac{ac}{b+c}=\frac {a+c-b}{2}$

Πρέπει δηλαδή $a\left ( b+c \right )-b^{2}+c^{2}=2ac\Leftrightarrow c^{2}-ac-b(b-a)=0$ τριώνυμο ως προς

Έχουμε λοιπόν $D=a^{2}+4b(b-a)=(a-2b)^{2} \geq 0$ . Παίρνουμε περιπτώσεις:

1η ) D> 0

τότε a) $\displaystyle c=\frac{a+\left | a-2b \right |}{2}$ Αν $\displaystyle a\geq 2b\Rightarrow c=\frac{2a-2b}{2}\Leftrightarrow a-b=c$ άτοπο από τριγωνική ανισότητα. Αν $\displaystyle a< 2b\Rightarrow c=\frac{2b}{2}=b$ άτοπο από υπόθεση.

β) $\displaystyle c=\frac{a-\left | a-2b \right |}{2}$ Αν $a\geq 2b\Rightarrow c=b$ άτοπο από υπόθεση και αν $a< 2b\Rightarrow c=a-b$ άτοπο από τριγωνική ανισότητα

2η) D=0

τότε $\displaystyle c=\frac{a}{2}$ άτοπο.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 16, 2023 9:37 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 16, 2023 8:24 am
Η αδύνατη ισότητα.pngΣτο τρίγωνο , με : , η είναι διχοτόμος , ενώ το είναι σημείο της ,

τέτοιο ώστε : . Υπάρχει περίπτωση να είναι : ;

Δεν γίνεται.

: Αδύνατη ισότητα.png (11.54 KiB) Προβλήθηκε 1028 φορές

Αν ο εγγεγραμμένος κύκλος εφάπτεται της

στο

εύκολα διαπιστώνουμε ότι BS=EC

και

Για να συμβεί η ισότητα θα πρέπει τα E, D

να ταυτίζονται, δηλαδή AB=AC

που αντίκειται στην υπόθεση.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 16, 2023 12:32 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 16, 2023 8:24 am
Η αδύνατη ισότητα.pngΣτο τρίγωνο , με : , η είναι διχοτόμος , ενώ το είναι σημείο της ,

τέτοιο ώστε : . Υπάρχει περίπτωση να είναι : ;

Εστω $BE\perp AD\Rightarrow AB=AE=c,EC=b-c,$

$AB+SB=AC+CS\Rightarrow DS=b-c,BD=SC$

$\hat{BAD}=\hat{DAC}=\hat{ADB}=\omega \Rightarrow \hat{DAC}+\hat{ADC}=180$

Ατοπο γιατι AC,DC

τέμνονται και $\hat{DAC}+\hat{ADC}< 180$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιουν 17, 2023 1:34 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 16, 2023 8:24 am
Η αδύνατη ισότητα.pngΣτο τρίγωνο , με : , η είναι διχοτόμος , ενώ το είναι σημείο της ,

τέτοιο ώστε : . Υπάρχει περίπτωση να είναι : ;

Ας υποθέσουμε ότι BD=CS

.Ισχύει