Ας περάσουμε από το κέντρο

KARKAR · #1

: Ας περάσουμε από το κέντρο.png (22.91 KiB) Προβλήθηκε 404 φορές

Ο κύκλος

εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου (O,4)

σε σημείο

. Μπορούμε να εντοπίσουμε

σημείο

του μεγάλου κύκλου , ώστε αν οι εφαπτόμενες από το

προς τον μικρό κύκλο , τέμνουν

τον μεγάλο στα σημεία A , B

, η ευθεία

να διέρχεται από το

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 31, 2023 12:33 pm
Ας περάσουμε από το κέντρο.pngΟ κύκλος εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου σε σημείο . Μπορούμε να εντοπίσουμε

σημείο του μεγάλου κύκλου , ώστε αν οι εφαπτόμενες από το προς τον μικρό κύκλο , τέμνουν

τον μεγάλο στα σημεία , η ευθεία να διέρχεται από το ;

: Από το κέντρο.png (22.32 KiB) Προβλήθηκε 347 φορές

Δίνω κάποια ευρήματα:

$\displaystyle KA \cdot KB = 15,ND = \frac{{24}}{5},NA \cdot NB = \frac{{192}}{5},\sin N = \frac{{4\sqrt {10} }}{{13}}$ και $\displaystyle KA = \frac{{16\sqrt {10} \pm 5}}{{13}},$

οπότε το σχήμα κατασκευάζεται. Το απόγευμα θα γράψω περισσότερα.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 31, 2023 12:33 pm
Ας περάσουμε από το κέντρο.pngΟ κύκλος εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου σε σημείο . Μπορούμε να εντοπίσουμε

σημείο του μεγάλου κύκλου , ώστε αν οι εφαπτόμενες από το προς τον μικρό κύκλο , τέμνουν

τον μεγάλο στα σημεία , η ευθεία να διέρχεται από το ;

Έστω

τα σημεία επαφής του κύκλου (K)

με τις

και

τα μέσα των NA, NB

αντίστοιχα.

Εύκολα $\displaystyle KA \cdot KB = 15$ και από την ομοιότητα των τριγώνων KAH, NOM

και

παίρνω

$\displaystyle \frac{{KA}}{4} = \frac{3}{{NM}} = \frac{6}{{NB}} \Leftrightarrow NB = \frac{{24}}{{KA}}$ και ομοίως $\displaystyle NA = \frac{{24}}{{KB}}.$ Άρα, $\displaystyle NA \cdot NB = \frac{{192}}{5}$

: Από το κέντρο.β.png (26.39 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές

Είναι ακόμα, $\displaystyle NA + NB = \frac{8}{5}AB \Leftrightarrow N{A^2} + N{B^2} + 2 \cdot \frac{{192}}{5} = \frac{{64}}{{25}}A{B^2},$ $\displaystyle AB = 8\sin \theta$

και με νόμο συνημιτόνου στο NAB

βρίσκω $\displaystyle \cos \theta = \frac{3}{{13}}.$ Εδώ επί της ουσίας η άσκηση τελειώνει γιατί αφού η γωνία

$\theta$ είναι γνωστή, θα είναι γνωστό και το μήκος της πλευράς

και επειδή διέρχεται από το

τα σημεία

είναι

ορισμένα. Για την ακρίβεια είναι $\displaystyle AB = \frac{{32\sqrt {10} }}{{13}}$ και $\displaystyle KA = \frac{{16\sqrt {10} + 5}}{{13}}$ με KA>KB.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 31, 2023 12:33 pm
Ας περάσουμε από το κέντρο.pngΟ κύκλος εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου σε σημείο . Μπορούμε να εντοπίσουμε

σημείο του μεγάλου κύκλου , ώστε αν οι εφαπτόμενες από το προς τον μικρό κύκλο , τέμνουν

τον μεγάλο στα σημεία , η ευθεία να διέρχεται από το ;

Συνοπτικά μια άποψη .

Με τη βοήθεια συμμετρικής αντιστροφής, O κύκλος $\left( {K,3} \right)$ είναι αντίστροφος του παρεγγεγραμμένου στην πλευρά

του $\vartriangle NAB$

με πόλο το

, δύναμη αντιστροφής $k = NA \cdot NB$ και άξονα συμμετρίας τη διχοτόμο της $\widehat {ANB}$ .

: Ας περάσουμε απο το κέντρο_κατασκευή_Λύση_ok.png (42.09 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές

Όμως αυτοί οι δύο κύκλοι είναι και ομοιόθετοι με κέντρο ομοιθεσίας το

και λόγο ομοιοθεσίας : $\boxed{\lambda = \frac{{NA \cdot NB}}{p} = \frac{8}{3}}$ , όπου

η δύναμη του

ως προς τον κύκλο $\left( {K,3} \right)$ . Δηλαδή $p = NF \cdot NS = 4N{F^2}$ .

Έτσι τελικά προκύπτει $\boxed{SC = 9}$ και ο κύκλος $\left( {C,9} \right)$ τέμνει τον $\left( {K,3} \right)$ στο

και η

συναντά τον $\left( {O,4} \right)$ στο ζητούμενο

.

Θα γράψω, εν ευθέτω χρόνο, αναλυτικά όλη τη λύση.

Ας περάσουμε από το κέντρο

Ας περάσουμε από το κέντρο

Re: Ας περάσουμε από το κέντρο

Re: Ας περάσουμε από το κέντρο

Re: Ας περάσουμε από το κέντρο

Μέλη σε σύνδεση