Ακτίνα κύκλου

Tolaso J Kos · #1

Στο παρακάτω σχήμα ο κύκλος $(\mathrm{O}, r)$ είναι εγγεγραμμένος στο τεταρτοκύκλιο ακτίνας $10\, \mathrm{cm}$ . Να βρεθεί η ακτίνα

του κύκλου.

$\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \draw[line width=1.2pt] (4, 0) arc(0:90:4); \draw[line width=1.2pt] (0,4) --(0,0) --(4, 0); \draw[fill=black] (1.68, 1.64) circle(2pt) node[above]{O}; \draw[line width=1.2pt] (1.68, 1.64) circle(1.658cm); \draw[dashed] (0, 1.64) -- (1.68, 1.64) -- (1.68, 0); \draw (0.86, 1.64) node[above]{r}; \draw (1.68, 0.81) node[right]{r}; \draw (2, 0) node[below]{10}; \end{tikzpicture}}$
Extra ερώτηση: Για να κατασκευάσουμε το σχήμα ... πώς βρίσκουμε το κέντρο του κύκλου;

Henri van Aubel · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Απρ 21, 2023 2:27 pm
Στο παρακάτω σχήμα ο κύκλος $(\mathrm{O}, r)$ είναι εγγεγραμμένος στο τεταρτοκύκλιο ακτίνας $10\, \mathrm{cm}$ . Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου.

$\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \draw[line width=1.2pt] (4, 0) arc(0:90:4); \draw[line width=1.2pt] (0,4) --(0,0) --(4, 0); \draw[fill=black] (1.68, 1.64) circle(2pt) node[above]{O}; \draw[line width=1.2pt] (1.68, 1.64) circle(1.658cm); \draw[dashed] (0, 1.64) -- (1.68, 1.64) -- (1.68, 0); \draw (0.86, 1.64) node[above]{r}; \draw (1.68, 0.81) node[right]{r}; \draw (2, 0) node[below]{10}; \end{tikzpicture}}$
Extra ερώτηση: Για να κατασκευάσουμε το σχήμα ... πώς βρίσκουμε το κέντρο του κύκλου;

Καλησπέρα σε όλους.
Προσοχή (για μαθητές). Το θέμα και το παρακάτω κείμενο δεν αναφέρονται σε ύλη συμβατή με την σημερινή Γ΄ Γυμνασίου (δεκαετία 2020-30). Δίνω μια προσέγγιση, που μου θυμίζει τα μαθητικά μου χρόνια στο Γυμνάσιο (1975-1978). Δείτε και τα σχόλια στο τέλος.

: 21-04-2023 Γεωμετρία b.jpg (25.87 KiB) Προβλήθηκε 884 φορές

Ανάλυση
Έστω ότι κατασκευάστηκε ο εγγεγραμμένος κύκλος. Έστω

το κέντρο του τεταρτοκυκλίου. Η προέκταση της διαγωνίου

τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο

, σημείο επαφής με τον κύκλο.
(*) ΕΔΩ χρειάζεται απόδειξη. Την αφήνω ως extra extra bonus άσκηση.

Τότε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} AO = r\sqrt 2 \\ AD = 10 \end{array} \right.\;\; \Rightarrow \;\;r\sqrt 2 + r = 10 \Leftrightarrow r\left( {\sqrt 2 + 1} \right) = 10 \Leftrightarrow r = \frac{{10}}{{\sqrt 2 + 1}} = 10\left( {\sqrt 2 - 1} \right)$

Για την κατασκευή
Φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle \widehat {DAB}$ και την κάθετη της

στο

. Τέμνονται στο

με $\displaystyle \frac{{KB}}{{AB}} = \varepsilon \varphi 22,5^\circ \Leftrightarrow KB = 10\left( {\sqrt 2 - 1} \right) = r$ .
Η παράλληλη από το

στην

τέμνει την

στο

, που είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

Απόδειξη
Πράγματι, το

ισαπέχει από τις AB, AC

, αφού βρίσκεται στη της διχοτόμο της $\displaystyle \widehat {CAB}$ . Η απόσταση ίση με

, λόγω της κατασκευής.
Επίσης $\displaystyle OD = AD - AO = r$ και

, όπως αποδείξαμε(*) είναι σημείο επαφής κύκλου – τεταρτοκυκλίου.

Διερεύνηση
Το πρόβλημα έχει πάντα λύση, εφόσον πάντα μπορούμε να κατασκευάσουμε τη διχοτόμο της $\displaystyle \widehat {CAB}$ και η παράλληλη της

σε απόσταση $\displaystyle 10\left( {\sqrt 2 - 1} \right)$ την τέμνει σε εσωτερικό σημείο του τεταρτοκυκλιου.

ΣΧΟΛΙΑ:
(1) Θα παρακαλούσα κάποιον συντονιστή να μεταφέρει το θέμα από τον φάκελο Γ΄ Γυμνασίου στη Γεωμετρία (π.χ. συζήτηση καθηγητών)
(2) Προσέξτε τα λεπτά σημεία που χρήζουν απόδειξης. Π.χ. το σημείο

γιατί είναι σημείο επαφής των δύο καμπυλών; Αυτό είναι από μόνο του ενδιαφέρουσα άσκηση γεωμετρίας. Μια πιο εκτενής αναφορά σε αυτό το θέμα, μπορείτε να βρείτε στον ΕΚΘΕΤΗ τ.23 (ΕΔΩ), στην εισαγωγή σελ. 1-2.
(3) Αν θα επαναφέρουμε την κατασκευή και τους γεωμετρικούς τόπους στην (ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ) ύλη, να το κάνουμε σωστά. Από την αρχή και με καλά σχεδιασμένα βήματα, όχι π.χ. απευθείας στις τελευταίες τάξεις του Λυκείου σε απαίδευτους μαθητές.

kfd · #4

H δύναμη του Α: $AN\cdot AZ=\left ( 10-2r \right )10=r^{2}\Leftrightarrow r=10\sqrt{2}-10$
H διχοτόμος της ορθής τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο Ζ. Δημιουργώ τμήμα $10\sqrt{2}$
(διαγώνιος τετραγώνου πλευράς 10) και για το ζητούμενο κέντρο Ζ, κατασκευάζω τη διαφορά του 10
απ' αυτό, το ZH-ΛH=ZΛ.

Λευτέρης Παπανικολάου · #5

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Παρ Απρ 21, 2023 7:17 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Απρ 21, 2023 2:27 pm
Στο παρακάτω σχήμα ο κύκλος $(\mathrm{O}, r)$ είναι εγγεγραμμένος στο τεταρτοκύκλιο ακτίνας $10\, \mathrm{cm}$ . Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου.

$\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \draw[line width=1.2pt] (4, 0) arc(0:90:4); \draw[line width=1.2pt] (0,4) --(0,0) --(4, 0); \draw[fill=black] (1.68, 1.64) circle(2pt) node[above]{O}; \draw[line width=1.2pt] (1.68, 1.64) circle(1.658cm); \draw[dashed] (0, 1.64) -- (1.68, 1.64) -- (1.68, 0); \draw (0.86, 1.64) node[above]{r}; \draw (1.68, 0.81) node[right]{r}; \draw (2, 0) node[below]{10}; \end{tikzpicture}}$
Extra ερώτηση: Για να κατασκευάσουμε το σχήμα ... πώς βρίσκουμε το κέντρο του κύκλου;
Καλησπέρα σε όλους.
Προσοχή (για μαθητές). Το θέμα και το παρακάτω κείμενο δεν αναφέρονται σε ύλη συμβατή με την σημερινή Γ΄ Γυμνασίου (δεκαετία 2020-30). Δίνω μια προσέγγιση, που μου θυμίζει τα μαθητικά μου χρόνια στο Γυμνάσιο (1975-1978). Δείτε και τα σχόλια στο τέλος.

21-04-2023 Γεωμετρία b.jpg

Ανάλυση
Έστω ότι κατασκευάστηκε ο εγγεγραμμένος κύκλος. Έστω το κέντρο του τεταρτοκυκλίου. Η προέκταση της διαγωνίου τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο , σημείο επαφής με τον κύκλο.
(*) ΕΔΩ χρειάζεται απόδειξη. Την αφήνω ως extra extra bonus άσκηση.

Τότε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} AO = r\sqrt 2 \\ AD = 10 \end{array} \right.\;\; \Rightarrow \;\;r\sqrt 2 + r = 10 \Leftrightarrow r\left( {\sqrt 2 + 1} \right) = 10 \Leftrightarrow r = \frac{{10}}{{\sqrt 2 + 1}} = 10\left( {\sqrt 2 - 1} \right)$

Για την κατασκευή
Φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle \widehat {DAB}$ και την κάθετη της στο . Τέμνονται στο με $\displaystyle \frac{{KB}}{{AB}} = \varepsilon \varphi 22,5^\circ \Leftrightarrow KB = 10\left( {\sqrt 2 - 1} \right) = r$ .
Η παράλληλη από το στην τέμνει την στο , που είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

Απόδειξη
Πράγματι, το ισαπέχει από τις , αφού βρίσκεται στη της διχοτόμο της $\displaystyle \widehat {CAB}$ . Η απόσταση ίση με , λόγω της κατασκευής.
Επίσης $\displaystyle OD = AD - AO = r$ και , όπως αποδείξαμε(*) είναι σημείο επαφής κύκλου – τεταρτοκυκλίου.

Διερεύνηση
Το πρόβλημα έχει πάντα λύση, εφόσον πάντα μπορούμε να κατασκευάσουμε τη διχοτόμο της $\displaystyle \widehat {CAB}$ και η παράλληλη της σε απόσταση $\displaystyle 10\left( {\sqrt 2 - 1} \right)$ την τέμνει σε εσωτερικό σημείο του τεταρτοκυκλιου.

ΣΧΟΛΙΑ:
(1) Θα παρακαλούσα κάποιον συντονιστή να μεταφέρει το θέμα από τον φάκελο Γ΄ Γυμνασίου στη Γεωμετρία (π.χ. συζήτηση καθηγητών)
(2) Προσέξτε τα λεπτά σημεία που χρήζουν απόδειξης. Π.χ. το σημείο γιατί είναι σημείο επαφής των δύο καμπυλών; Αυτό είναι από μόνο του ενδιαφέρουσα άσκηση γεωμετρίας. Μια πιο εκτενής αναφορά σε αυτό το θέμα, μπορείτε να βρείτε στον ΕΚΘΕΤΗ τ.23 (ΕΔΩ), στην εισαγωγή σελ. 1-2.
(3) Αν θα επαναφέρουμε την κατασκευή και τους γεωμετρικούς τόπους στην (ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ) ύλη, να το κάνουμε σωστά. Από την αρχή και με καλά σχεδιασμένα βήματα, όχι π.χ. απευθείας στις τελευταίες τάξεις του Λυκείου σε απαίδευτους μαθητές.

Με αφορμή την πολύ χρήσιμη απάντησή σας, να αναφέρω μία αστοχία (κατ'εμέ) του σχολικού βιβλίου της Γεωμετρίας της Α Λυκείου: γράφει ότι το σημείο επαφής είναι σημείο της διακέντρου. Όμως αυτό συμβαίνει μόνο στην περίπτωση που οι κύκλοι είναι εξωτερικά εφαπτόμενοι διότι όταν είναι εσωτερικά εφαπτόμενοι (όπως εδώ) το σημείο επαφής βρίσκεται στην προέκταση της διακέντρου. Ίσως να θεωρηθεί λεπτομέρεια, αλλά νομίζω ότι έχει μία αξία κι εγώ το επισημαίνω στους μαθητές μου

Ακτίνα κύκλου

Ακτίνα κύκλου

Re: Ακτίνα κύκλου

Re: Ακτίνα κύκλου

Re: Ακτίνα κύκλου

Re: Ακτίνα κύκλου

Μέλη σε σύνδεση