Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

KARKAR · #1

: Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος.png (12.59 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές

Στην προέκταση της ακτίνας OC=r

, ενός κύκλου , θεωρούμε σημείο

, από το οποίο φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα

. Υπάρχει περίπτωση , οι τρεις πλευρές : a , b , c

του τριγώνου ABC

,

να είναι - με τη σειρά που δόθηκαν - διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου ;

Henri van Aubel · #2

Καλό μεσημέρι!!

Ας είναι $\angle ABC=\theta (1).$

Τότε εύκολα είναι

$\displaystyle \angle ACB=90^\circ +\frac {\angle BOC}{2}=90^\circ+\theta (2)$

και $\displaystyle \angle BAC=90^\circ-2\theta(3)$

Άρα θα πρέπει να ισχύει ότι:

$\displaystyle \frac {AC}{BC}=\frac {AB}{AC}=\frac {\sin \angle ABC}{\sin \angle BAC}=\frac {\sin \angle ACB}{\sin \angle ABC}$

Η δοθείσα λόγω των τριών πρώτων σχέσεων, γίνεται:

$\displaystyle \frac {\sin \theta}{\cos 2\theta}=\frac {\cos \theta}{\sin \theta}$

Αυτή έχει δεκτή λύση, επομένως υπάρχει περίπτωση να ισχύει αυτό που λέει ο Θανάσης.

#3

Συνεχίζοντας την εξίσωση του Henri Van Aubel,

$\displaystyle 2{\sin ^2}\theta = \cos 3\theta + \cos \theta \Leftrightarrow 2 - 2{\cos ^2}\theta = 4{\cos ^3}\theta - 3\cos \theta + \cos \theta \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2{\cos ^3}\theta + {\cos ^2}\theta - \cos \theta - 1 = 0,$ απ' όπου παίρνω (με τη βοήθεια λογισμικού) την

μοναδική δεκτή ρίζα, $\boxed{\cos \theta = \frac{1}{6}\left( { - 1 + \sqrt[3]{{44 - 3\sqrt {177} }} + \sqrt[3]{{44 + 3\sqrt {177} }}} \right)}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 03, 2022 12:59 pm
Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος.pngΣτην προέκταση της ακτίνας , ενός κύκλου , θεωρούμε σημείο , από το οποίο φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα . Υπάρχει περίπτωση , οι τρεις πλευρές : του τριγώνου ,

να είναι - με τη σειρά που δόθηκαν - διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου ;

Αλλιώς. Είναι, $\displaystyle \sin B = \sin \theta = \frac{a}{{2r}},\sin A = \frac{r}{{r + b}},c = \frac{{{b^2}}}{a}.$

: Γ.Π.Κ.png (14.63 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές

Με νόμο ημιτόνων, $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{{2{r^2}}}{{a(r + b)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{{a^2} = \frac{{2{r^2}b}}{{r + b}}}$ (1)

Με Π. Θ στο OAB,

$\displaystyle {b^2} + 2rb = {c^2} = \frac{{{b^4}}}{{{a^2}}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} {b^4} + r{b^3} - 2{r^2}b - 4{r^3} = 0,$

απ' όπου παίρνω τη δεκτή ρίζα, $\boxed{b = \frac{r}{3}\left( { - 1 + \sqrt[3]{{44 - 3\sqrt {177} }} + \sqrt[3]{{44 + 3\sqrt {177} }}} \right)}$

Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

Re: Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

Re: Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

Re: Γεωμετρική γεωμετρική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση