Διχοτόμος 120άρας...διχοτόμος και χορδής!

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλή Κυριακή σε όλους.

: 19-6 ..διχοτόμος και χορδής.png (128.44 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει $\widehat{A}=120^o$ και AD,BE,CZ

οι (εσωτερικές) διχοτόμοι του.

Αν ο κύκλος των A,Z,E

τέμνει την

στα

τότε: Να εξεταστεί αν ισχύει

Μου προέκυψε απρόσμενα με τη μέτρηση να δείχνει ίσα τμήματα. Έχω λογιστική απόδειξη,

πάντως στο

θα έχει την ...καλύτερη τύχη! Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 19, 2022 8:29 am
Καλή Κυριακή σε όλους.

19-6 ..διχοτόμος και χορδής.png

Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=120^o$ και οι (εσωτερικές) διχοτόμοι του.

Αν ο κύκλος των τέμνει την στα τότε: Να εξεταστεί αν ισχύει

Μου προέκυψε απρόσμενα με τη μέτρηση να δείχνει ίσα τμήματα. Έχω λογιστική απόδειξη,

πάντως στο θα έχει την ...καλύτερη τύχη! Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Είναι γνωστός ο τύπος της διχοτόμου $AD=\dfrac{2bc}{b+c}\cdot \cos \dfrac{A}{2}$ τριγώνου $\vartriangle ABC$ που εδώ με $\dfrac{\angle A}{2}={{60}^{0}}$ δίνει $AD\overset{\cos {{60}^{0}}=\dfrac{1}{2}}{\mathop{=}}\,\dfrac{bc}{b+c}:\left( 1 \right)$ .

Έστω

το περίκεντρο του τριγώνου $\vartriangle AZE$ και ας είναι P,K

και

οι ορθές προβολές των D,O

στις

αντίστοιχα. Τότε από τις χορδές AZ,AE

προφανώς $AK=\dfrac{AZ}{2}$ και $AL=\dfrac{AE}{2}$ και προφανώς $AP=AQ=\dfrac{AD}{2}\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{=}}\,\dfrac{bc}{2\left( b+c \right)}:\left( 2 \right)$

: Διχοτόμος 120άρας ... διχοτόμος και χορδή.png (36.06 KiB) Προβλήθηκε 608 φορές

Με $AZ=\dfrac{bc}{a+b},AE=\dfrac{bc}{a+c}$ θα είναι $AK=\dfrac{bc}{2\left( a+b \right)},AE=\dfrac{bc}{2\left( a+c \right)}:\left( 3 \right)$ και από τον νόμο των συνημιτόνων θα έχουμε: ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cdot \cos {{120}^{0}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}+bc:\left( 4 \right)$ οπότε:
$PK=\left| AP-AK \right|=\left| \dfrac{bc}{2\left( b+c \right)}-\dfrac{bc}{2\left( a+b \right)} \right|\overset{a>c}{\mathop{=}}\,\dfrac{bc}{2\left( b+c \right)\left( a+b \right)}\left( a-c \right):\left( 5 \right)$ και ομοίως $LQ=\dfrac{bc}{2\left( b+c \right)\left( a+c \right)}\left( a-b \right):\left( 6 \right)$ .

Άρα $\dfrac{PK}{LQ}\overset{\left( 5 \right),\left( 6 \right)}{\mathop{=}}\,\dfrac{\left( a-c \right)\left( a+c \right)}{\left( a-b \right)\left( a+b \right)}=\dfrac{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\overset{\left( 4 \right)}{\mathop{=}}\,\dfrac{{{b}^{2}}+bc}{{{c}^{2}}+bc}$ $=\dfrac{b\left( b+c \right)}{c\left( b+c \right)}=\dfrac{b}{c}\Rightarrow \dfrac{PK}{LQ}=\dfrac{AC}{AB}:\left( 7 \right)$
Από την $\left( 7 \right)$ σύμφωνα με το Stathis Koutras Theorem προκύπτει ότι $OD\bot MN$ και με

χορδή του κύκλου $\left( O \right)$ κέντρου

προκύπτει ότι

το μέσο της

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλημέρα! Ενα μεγάλο ευχαριστώ στον Στάθη για την ως άνω απόδειξη, με χρήση του επώνυμου θεωρήματος!

Ακολουθεί προσπάθεια για την απόδειξη της σχέσης $OD \perp BC$

με (μόνη ) δεδομένη την $\dfrac{PK}{LQ}=\dfrac{AC}{AB}$ , χωρίς την επίκληση του θεωρήματος.

: 21-6 Θεώρημα Στάθη Κούτρα.png (133.09 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές

Θεωρώ $\vec{OS}=\vec{KP}$ και $\vec{OH}=\vec{LQ}$

Τότε $\dfrac{OS}{OH}=\dfrac{PK}{LQ}=\dfrac{AC}{AB}$ και $\widehat{SOH}=\widehat{BAC}$ συνεπώς τα τρίγωνα SOH,BAC

είναι όμοια με $\widehat{B}=\widehat{OHS}=\widehat{ODS}=\theta$

αφού το DHOS

είναι βεβαίως εγγράψιμο . Στο ορθ τρίγωνο BPD

έχουμε $\theta +\omega =90^o$ άρα $OD \perp BC$

Πιθανότατα να υπάρχει παρόμοια απόδειξη στις ήδη αναρτημένες για το Θεώρημα Κούτρα, παρόλο που επίτηδες δεν τις κοίταξα για μην ταυτιστεί με κάποια απ' αυτές..Νομίζω πάντως, πως ένα Θεώρημα "passe-partout" όπως αυτό άξιζε ένα ακόμη κόπο.

Σε επόμενη ανάρτηση θα δώσω και την απόδειξη που είχα βρει πριν την υποβολή του παρόντος θέματος. Φιλικά, Γιώργος.

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 19, 2022 8:29 am
Καλή Κυριακή σε όλους.

19-6 ..διχοτόμος και χορδής.png

Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=120^o$ και οι (εσωτερικές) διχοτόμοι του.

Αν ο κύκλος των τέμνει την στα τότε: Να εξεταστεί αν ισχύει

Μου προέκυψε απρόσμενα με τη μέτρηση να δείχνει ίσα τμήματα. Έχω λογιστική απόδειξη,

πάντως στο θα έχει την ...καλύτερη τύχη! Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

οι διασταυρώσεις των ζευγών, $BI,DZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CI,DE$ . Η πολική του

ως προς τις AB,AD

είναι η

.

Η πολική του

ως προς τις $AC\,,AD$ είναι η

. Άμεσες συνέπειες:

Όλες οι κίτρινες γωνίες είναι από $30^\circ$ κάθε μια ( και όχι μόνο ), ενώ όλες οι πράσινες είναι από $60^\circ$ κάθε μια (και όχι μόνο).

: Διχοτόμος 120_διχοτόμος χορδής_Μήτσιος.png (43.82 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές

Η

είναι διάμετρος του κύκλου , τα τρίγωνα : $ZFH,\,\,ETG,\,\,ZKT,\,\,EHL$ είναι ισόπλευρα .

Τα τετράπλευρα $CEHQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BPTZ\,\,$ είναι χαρταετοί . Έτσι $HQ//ZF\,\,$ οπότε:

DP = DQ

και από το Θ. της πεταλούδας DM = DN

.

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλό απόγευμα! Ένα μεγάλο ευχαριστώ και στον Νίκο για την δική του διαπραγμάτευση!
Μια ακόμη προσέγγιση

: 28-6 ..διχοτόμος χορδής.png (140.62 KiB) Προβλήθηκε 406 φορές

Θέτω

και

. Θα χρειαστούν $a^{2}=b^{2}+bc+c^{2}$ (από νόμο συνημιτόνων )

ενώ $BZ=\dfrac{ac}{a+b}$ και $BD=\dfrac{ac}{b+c}...CD=\dfrac{ab}{b+c}$ (από θ. διχοτόμων)

Έχουμε $BM\cdot BN=BZ\cdot BA\Rightarrow x\left ( a-y \right )=\dfrac{ac}{a+b}\cdot c \Rightarrow xy=a\left ( x-\dfrac{c^{2}}{a+b} \right )..(1)$

και $CN\cdot CM=CE\cdot CA\Rightarrow y\left ( a-x \right )=\dfrac{ab}{a+c}\cdot b\Rightarrow xy=a \left (y-\dfrac{b^{2}}{a+c} \right )$ .. (2)

Εξισώνοντας τα β' μέλη αυτών προκύπτει $x-y= \dfrac{c^{2}}{a+c}-\dfrac{b^{2}}{a+b}=\dfrac{a\left ( c^{2}-b^{2} \right )+c^{3}-b^{3}}{\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )}=$

$=\dfrac{a\left ( c-b \right )\left ( c+b \right )+\left ( c-b \right )\left ( b^{2}+bc+c^{2} \right )}{\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )} =\dfrac{a\left ( c-b \right )\left ( c+b+a \right )}{\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )}$

Θέλουμε $DM=DN\Leftrightarrow BD-x=CD-y\Leftrightarrow x-y= BD-CD=\dfrac{a\left ( c-b \right )}{b+c}$ .

Αρκεί να δείξουμε

$\dfrac{a\left ( c-b \right )}{b+c}= \dfrac{a\left ( c-b \right )\left ( c+b+a \right )}{\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )}\Leftrightarrow \left ( b+c \right ) \left ( b+c+a \right )=\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )\Leftrightarrow a^{2}=b^{2}+bc+c^{2}$

που ισχύει. Φιλικά, Γιώργος.

Διχοτόμος 120άρας...διχοτόμος και χορδής!

Διχοτόμος 120άρας...διχοτόμος και χορδής!

Re: Διχοτόμος 120άρας...διχοτόμος και χορδής!

Re: Διχοτόμος 120άρας...διχοτόμος και χορδής!

Re: Διχοτόμος 120άρας...διχοτόμος και χορδής!

Re: Διχοτόμος 120άρας...διχοτόμος και χορδής!

Μέλη σε σύνδεση